Действительные числа состоят из положительных действительных чисел, отрицательных действительных чисел и числа ноль.
R = R ⁻ ∪ {0} ∪ R ⁺

Действительные числа включают в себя рациональные и иррациональные числа.
R = Q ∪ I

Примеры иррациональных чисел
π = 3.141592653...
e = 2.718281828...
√2 = 1.414213562...
ln 3 = 1.098612289...

Свойство упорядоченности
Для любой пары действительных чисел a и b справедливо одно и только одно из следующих соотношений:
a = b, a > b, a < b

Свойство транзитивности
Если a ≤ b и b ≤ c, то a ≤ c

Если a ≤ b, то a + c ≤ b + c

Если a > 0 и b > 0, то ab > 0

Коммутативность сложения
a + b = b + a

Ассоциативность сложения
a + (b + c) = (a + b) + c

Существование нейтрального (нулевого) элемента при сложении
a + 0 = a

Существование противоположного элемента
Для любого действительного числа a существует противоположное число −a, такое, что
a + (−a) = 0

Коммутативность умножения
a ⋅ b = b ⋅ a

Ассоциативность умножения
a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c

Дистрибутивность умножения относительно сложения
a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ с

Существование нейтрального элемента (единицы) при умножении
a ⋅ 1 = a

a ⋅ 0 = 0

Существование обратного элемента
Для любого действительного числа a ≠ 0 существует противоположное число a⁻¹, такое, что
a ⋅ a⁻¹ = 1

Аксиома Архимеда
Для любой пары положительных действительных чисел a и b число a можно повторить в качестве слагаемого столько раз, что в результате сумма будет больше числа b:
a + a + ... + a > b

Свойство непрерывности действительных чисел
Пусть заданы два непустых множества A ⊂ R и B ⊂ R, причем для любых двух чисел a ∈ A и b ∈ B выполняется неравенство a ≤ b. Тогда существует число ξ ∈ R, такое, что для всех чисел a ∈ A и b ∈ B справедливо соотношение
a ≤ ξ ≤ b