Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования

Криволинейный интеграл второго рода от векторной функции не зависит от пути интегрирования, если P, Q и R являются непрерывными функциями в области интегрирования D и в этой области существует скалярная функция , такая, что В этом случае криволинейный интеграл второго рода от функции вдоль кривой C от точки A до точки B выражается формулой (Здесь можно увидеть аналогию с формулой Ньютона-Лейбница для определенных интегралов.)

Таким образом, если криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, то для любого замкнутого контура C справедливо соотношение Векторное поле, обладающее свойством , называется потенциальным, а функция называется потенциалом.

Криволинейный интеграл II рода от функции не зависит от пути интегрирования, если Предполагается, что каждый компонент функции имеет непрерывные частные производные по переменным x, y и z.

Если криволинейный интеграл рассматривается в плоскости Oxy, то в случае потенциального поля будет справедливо соотношение В этом случае признак потенциальности векторного поля упрощается и принимает вид Рассмотренный признак является необходимым, но, вообще говоря, не достаточным для потенциальности поля. Данное условие достаточно, если только область интегрирования D односвязна.

   Пример 1

Вычислить криволинейный интеграл для двух путей интегрирования:
1) AB − отрезок прямой от точки A (0,0) до точки B (1,1);
2) AB − участок параболы от A (0,0) до B (1,1). Рассмотрим первый случай. Очевидно, уравнение прямой имеет вид y = x. Тогда, используя формулу получаем Для случая, когда путь AB является параболой , мы имеем то есть мы получили тот же самый ответ.

Применим признак для проверки поля на потенциальность. Таким образом, векторное поле является потенциальным, что и объясняет независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.

   Пример 2

Показать, что криволинейный интеграл , где точки A, B имеют координаты A (1,2), B (4,5), не зависит от пути интегрирования, и найти значение этого интеграла. Поскольку компоненты векторного поля и их частные производные непрерывны и условие потенциальности поля выполнено, то данное векторное поле потенциально и, следовательно, криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Заметим, что то есть потенциал поля равен . Тогда по формуле находим значение интеграла

   Пример 3

Определить, является ли векторное поле потенциальным? Поскольку P = yz, Q = xz и R = xy, то ротор поля равен Следовательно, поле потенциально.

   Пример 4

Определить, является ли векторное поле потенциальным? Если да, то найти его потенциал. Компоненты векторного поля равны . Легко видеть, что Таким образом, данное поле потенциально.

Чтобы найти потенциал, сначала проинтегрируем по отношению к x. Теперь определим C(y), приравнивая производную к Q (x,y). Следовательно, . Тогда где С₁ − произвольная постоянная, и потенциал поля имеет вид

   Пример 5

Определить, является ли потенциальным векторное поле ? Если да, найти его потенциал. В данном случае . Вычислим ротор заданного поля. Следовательно, поле потенциально. Чтобы найти его потенциал, проинтегрируем по переменной x. В последнем выражении переменные y и z рассматривались как константы.

Теперь продифференцируем потенциал u по переменной y и приравняем к Q. Из последней формулы видно, что .

Для определения G (y,z) проинтегрируем последнее соотношение по y и добавим как постоянную функцию H (z). Таким образом, потенциал имеет вид Наконец, Полагая равным , находим Окончательный ответ: где С₀ − произвольная постоянная.