Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю: где Ниже предполагается, что f (x) и g (x) - непрерывные функции на замкнутом интервале [a, b]. Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на [a, b], то Площадь фигуры, ограниченной осью 0x, двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции f (x) (рисунок 1), определяется по формуле Пусть F (x) и G (x) - первообразные функций f (x) и g (x), соответственно. Если f (x) ≥ g (x) на замкнутом интервале [a, b], то площадь области, ограниченной двумя кривыми y = f (x), y = g (x) и вертикальными линиями x = a, x = b (рисунок 2), определяется формулой Определенный интеграл по переменной x можно преобразовать в определенный интеграл относительно переменной t с помощью подстановки x = g (t): Новые пределы интегрирования по переменной t определяются выражениями где g ^-1 - обратная функция к g, т.е. t = g ^-1(x).


В этом случае формула интегрирования по частям имеет вид: где означает разность значений произведения функций uv при x = b и x = a.

   Пример 1

Вычислить интеграл . Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем

   Пример 2

Вычислить интеграл .

   Пример 3

Вычислить интеграл . Сделаем замену: Пересчитаем пределы интегрирования. Если x = 0, то t = −1. Если же x = 1, то t = 2. Тогда интеграл через новую переменную t легко вычисляется:

   Пример 4

Вычислить интеграл . Запишем интеграл в виде Используем интегрирование по частям: . В нашем случае пусть будет Следовательно, интеграл равен

   Пример 5

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми и . Сначала определим точки пересечения двух кривых (рисунок 3). Таким образом, данные кривые пересекаются в точках (0,0) и (1,1). Следовательно, площадь фигуры равна

   Пример 6

Найти площадь фигуры, ограниченную графиками функций и . Найдем координаты точек пересечения кривых (рисунок 4). Данная область ограничивается сверху параболой , а снизу - прямой линией . Следовательно, площадь этой области равна

   Пример 7

Найти площадь треугольника с вершинами в точках (0,0), (2,6) и (7,1). Найдем сначала уравнение стороны ОА (рисунок 5). Аналогично, получим уравнение стороны ОВ. Наконец, найдем уравнение третьей стороны АВ. Как видно из рисунка 5, площадь треугольника равна сумме двух интегралов:

   Пример 8

Вычислить площадь эллипса . В силу симметрии (см. рис.6), достаточно вычислить площадь полуэллипса, расположенного выше оси 0x, и затем результат умножить на 2. Площадь полуэллипса равна Для вычисления данного интеграла используем тригонометрическую подстановку x = asin t, dx = acos tdt. Уточним пределы интегрирования. Если x = − a, то sin t = −1 и . Если x = a, то sin t = 1, . Таким образом, мы получаем Следовательно, полная площадь эллипса равна πab.