Колебания в электрических цепях

В электрической цепи, содержащей сопротивление R, индуктивность L и емкость C, могут возбуждаться электрические колебания. С точки зрения топологии чаще всего рассматриваются два вида электрических цепей: последовательная RLC-цепь (рисунок 1) и параллельная RLC-цепь (рисунок 2). Выведем дифференциальное уравнение, описывающее закон изменения тока в последовательной RLC-цепи.

Напряжения V_R, V_C, V_L, соответственно, на резисторе R, конденсаторе C и катушке индуктивности L выражаются формулами Из второго закона Кирхгофа следует, что где E(t) − электродвижущая сила (э.д.с.) источника питания.

В случае постоянной э.д.с. E после подстановки выражений для V_R, V_C и V_L и последующего дифференцирования получаем следующее дифференциальное уравнение: Если ввести обозначения , то уравнение записывается в виде Данное дифференциальное уравнение совпадает с уравнением, описывающим затухающие колебания грузика на пружинке. Следовательно, в последовательной RLC-цепи при определенных значениях параметров также могут возникать затухающие колебания.

Теперь рассмотрим параллельную RLC-цепь и выведем для нее аналогичное дифференциальное уравнение.

По первому закону Кирхгофа полный ток будет равен сумме токов через сопротивление R, катушку индуктивности L и конденсатор C (рисунок 2): Учитывая, что для случая постоянного полного тока I(t) = I₀ получаем следующее дифференциальное уравнение 2-го порядка относительно переменной V: Как видно, мы снова приходим к уравнению, описывающему затухающие колебания. Таким образом, колебательный режим может возникать и в параллельных RLC-цепях. В простейшем случае, когда омическое сопротивление равно нулю (R = 0) и источник э.д.с. отсутствует (E = 0), колебательный контур состоит лишь из конденсатора C и катушки индуктивности L и описывается дифференциальным уравнением В таком контуре будут происходить незатухающие электрические колебания с периодом Данная формула называется формулой Томсона в честь английского физика Уильяма Томсона (1824-1907), который теоретически вывел ее в 1853 году. Выше мы получили дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее затухающие колебания в последовательном RLC-контуре, которое записывается как Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид Его корни вычисляются по формулам: где величина  β = R/2L называется коэффициентом затухания, а ω₀ − резонансной частотой колебательного контура.

В зависимости от значений параметров R, L, C могут возникнуть три режима. В этом случае оба корня характеристического уравнения λ₁ и λ₂ действительны, различны и отрицательны. Общее решение дифференциального уравнения определяется формулой В этом режиме ток монотонно уменьшается, приближаясь к нулю (рисунок 3). Данный режим можно назвать граничным или критическим. Здесь оба корня характеристического уравнения совпадают, но при этом являются действительными и отрицательными. Общее решение уравнения выражается функцией В начале процесса ток может даже возрастать, но в дальнейшем он быстро уменьшается по экспоненциальному закону. В этом случае корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными. В электрической цепи возникают затухающие колебания. Закон изменения тока имеет вид где величина  β = R/2L − как и выше, коэффициент затухания, − частота колебаний, A, B − постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий. Заметим, что частота затухающих колебаний ω меньше резонансной частоты ω₀ колебательного контура. Типичный вид кривой I(t) в этом режиме также представлен на рисунке 3. Если колебательный контур содержит генератор с периодически изменяющейся э.д.с., то в нем устанавливаются вынужденные колебания. Если э.д.с. E источника тока изменяется по закону то дифференциальное уравнение вынужденных колебаний в последовательной RLC-цепи записывается в виде где q − заряд конденсатора, .

Данное уравнение аналогично уравнению вынужденных колебаний пружинного маятника, рассмотренного на странице Механические колебания. Его общее решение представляет собой сумму двух слагаемых − общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. При этом общее решение однородного уравнения описывает затухающий переходный процесс, по истечении которого в системе устанавливаются вынужденные колебания. Эти вынужденные колебания будут происходить по закону где фаза φ определяется формулой Зная закон изменения заряда q(t), легко найти закон изменения тока I(t): где введен угол θ, равный . Угол θ показывает отставание колебаний тока I(t) по отношению к колебаниям напряжения источника питания .

Амплитуда тока I₀ и сдвиг фаз θ определяются формулами Величина называется полным сопротивлением или импедансом контура. Она состоит из омического сопротивления R и реактивного сопротивления . Импеданс колебательного контура в комплексной форме записывается как Из полученных формул видно, что амплитуда установившихся колебаний тока будет максимальной когда При этом условии в колебательном контуре наступает резонанс. Резонансная частота ω₀ равна частоте свободных колебаний в контуре и не зависит от сопротивления R.

Формулу для амплитуды тока вынужденных колебаний можно преобразовать, выделив в явном виде зависимость от отношения частот ω/ω₀, где ω₀ − резонансная частота. В результате получаем Типичные зависимости амплитуды тока от отношения частот ω/ω₀ при различных значениях R и C показаны на рисунках 5 и 6. Данные графики построены при E = 100 В, L = 1 мГн, С = 10 мкФ (на рисунке 5), R = 10 Ом (на рисунке 6). Резонансные свойства колебательного контура характеризуются добротностью Q, которая численно равна отношению резонансной частоты ω₀ к ширине резонансной кривой Δω на уровне убывания амплитуды в √2 раз (см. выше рисунок 4).

В последовательном колебательном контуре добротность вычисляется по формуле Для параллельной RLC-цепи добротность определяется обратным выражением:

   Пример 1

Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных резистора сопротивлением R = 100 Ом и катушки с индуктивностью L = 50 Гн. В момент t = 0 подключается источник постоянного напряжения V₀ = 200 В. Найти:

• Закон изменения тока в цепи I(t);
• Закон изменения напряжения на резисторе V_R(t) и на катушке индуктивности V_L(t).

Последовательная RL-цепь описывается дифференциальным уравнением В соответствии с общей теорией, решением данного уравнения является сумма общего решения однородного уравнения I_одн и частного решения неоднородного уравнения I_неодн :  I =I_одн + I_неодн. Общее решение однородного уравнения выражается функцией где A − постоянная интегрирования.

Решение неоднородного уравнения I_неодн соответствует установившемуся режиму, при котором ток в цепи определяется лишь омическим сопротивлением R: . Тогда полный ток будет изменяться по закону Постоянная A определяется из начального условия I(t = 0) = 0. Следовательно, Итак, после замыкания цепи ток будет изменяться по закону График I(t) показан на рисунке 7.

Напряжения на резисторе V_R и на катушке индуктивности V_L определяются следующими формулами: Графики функций V_R(t) и V_L(t) приведены на рисунке 8.

   Пример 2

Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных резистора сопротивлением R = 100 Ом и конденсатора С = 0.01 мкФ. В начальный момент подключается источник постоянного напряжения V₀ = 200 В. Найти:

• Закон изменения тока в цепи I(t);
• Закон изменения напряжения на резисторе V_R(t) и конденсаторе V_C(t).

Эта задача похожа на предыдущую и отличается от нее лишь типом электрической цепи. В данной задаче рассматривается RC-цепь.

Согласно 2-му закону Кирхгофа где напряжение на резисторе равно В результате получаем следующее дифференциальное уравнение для описания переходного процесса в RC-цепи: Решение этого уравнения представляется в виде суммы общего решения однородного уравнения V_одн и частного решения неоднородного уравнения V_неодн. Однородное уравнение имеет общее решение в виде где A − постоянная интегрирования, зависящая от начального условия.

Частное решение неоднородного уравнения соответствует установившемуся режиму, при котором . Тогда напряжение на резисторе будет равно нулю и все напряжение будет приложено к конденсатору, то есть V_C = V₀. Таким образом, изменение напряжения на конденсаторе описывается выражением С учетом начального условия V_C(t = 0) = 0 находим постоянную A: Следовательно, закон изменения напряжения на конденсаторе будет выглядеть так: Напряжение на резисторе определяется формулой Ток в RC-цепи будет изменяться по закону Графики изменения напряжений V_C(t), V_R(t) и тока I(t) показаны на рисунках 9 и 10.

   Пример 3

Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных резистора сопротивлением R = 1 Ом, катушки с индуктивностью L = 0.25 Гн и конденсатора емкостью С = 1 мкФ. Через сколько колебаний амплитуда тока в этом контуре уменьшится в e раз? В контуре будут происходить затухающие колебания с частотой Амплитуда колебаний будет при этом уменьшаться по закону Пусть за время t произошло N полных колебаний: Если за это время амплитуда колебаний уменьшилась в e раз, то справедливо соотношение Отсюда находим число колебаний N:

   Пример 4

К последовательной цепи, состоящей из сопротивления R = 100 Ом, катушки с индуктивностью L = 0.4 Гн и конденсатора емкостью С = 200 мкФ, подключен переменный источник напряжения с амплитудой E₀ = 128 В и круговой частотой ω = 250 Гц. Найти:

• Амплитуду тока в цепи;
• Амплитуду напряжения на конденсаторе.

Вынужденные колебания тока в установившемся режиме происходят с амплитудой Амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе будет составлять