Механические колебания

Колебательные процессы встречаются повсюду в природе и технике. В астрономии планеты периодически обращаются вокруг Солнца, переменные звезды, такие как цефеиды, периодически меняют свою яркость, движение Луны вызывает приливы и отливы. В геофизике периодические процессы проявляются при изменении климата, в поведении океанических течений, в динамике циклонов и антициклонов. Внутри живых организмов происходят десятки различных периодических процессов с периодом от доли секунды до года, и т.д.

Мы начнем рассмотрение колебаний с анализа простейшей системы − гармонического осциллятора. Примером такой простейшей системы является груз массы m, прикрепленный к пружине жесткостью k (рисунок 1). В идеальном случае (пренебрегая сопротивлением воздуха и внутренним трением) такая система будет совершать незатухающие гармонические колебания, при которых смещение x описывается функцией косинус или синус: В этих формулах A означает амплитуду колебаний, ωt + φ₀ − фазу колебаний, φ₀ − начальную фазу в момент t = 0. Величина ω называется круговой или циклической частотой колебаний. Она связана с периодом колебаний T соотношением Если смещение x(t) известно, то последовательно дифференцируя, можно найти скорость и ускорение тела: Отсюда видно, что смещение x(t) и ускорение x''(t) удовлетворяют дифференциальному уравнению которое наывается уравнением гармонических колебаний. Решением этого уравнения являются указанные выше функции косинус или синус.

В случае груза на пружинке, возвращающая сила при малых колебаниях подчиняется закону Гука: где k − жесткость пружины. Здесь координата x = 0 соответствует точке равновесия, в которой сила тяжести скомпенсирована начальным растяжением пружины. Тогда, согласно второму закону Ньютона, движение груза будет описываться дифференциальным уравнением Таким образом, грузик будет совершать незатухающие гармонические колебания с круговой частотой Период колебаний, соответственно, будет равен Аналогичный анализ другой колебательной системы − математического маятника − приводит к следующей формуле для периода колебаний: где L − длина маятника, g − ускорение свободного падения.

В случае физического маятника период колебаний определяется выражением где I − момент инерции тела относительно оси вращения, m − масса тела, a − расстояние от оси вращения до центра масс. В реальных колебательных системах всегда присутствуют силы трения или сопротивления, которые приводят к постепенному затуханию колебаний. Во многих случаях сила сопротивления (обозначим ее F_с) пропорциональна скорости движения тела, т.е. Тогда в случае груза на пружинке при учете силы сопротивления дифференциальное уравнение будет записываться в виде Введем обозначения: c/m = 2β, k/m = ω₀². Здесь ω₀ − собственная частота колебаний незатухающего осциллятора (ранее мы обозначали ее как ω), β − коэффициент затухания. В новых обозначениях дифференциальное уравнение выглядит так: Будем искать решение этого уравнения в виде функции Производные, соответственно, равны Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем алгебраическое характеристическое уравнение: Это уравнение имеет следующие корни: Видно, что в зависимости от знака подкоренного выражения  β² − ω₀² могут возникнуть три различных типа решения. В этом случае (при сильном затухании) подкоренное выражение положительно:  β² > ω₀². Корни характеристического уравнения действительны и отрицательны. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид где коэффициенты C₁, C₂, как обычно, зависят от начальных условий. Из полученного выражения следует, что в системе отсутствуют колебания и возврат к равновесному состоянию происходит по экспоненциальному закону, т.е. апериодически (рисунок 3). В предельном случае, при  β = ω₀, корни характеристического уравнения будут совпадающими и действительными: Здесь решение будет определяться формулой В этом режиме величина x(t) может даже возрастать в начале процесса из-за действия линейного множителя C₁t + C₂. Но в итоге отклонение x(t) быстро уменьшается вследствие экспоненциального затухания с характерным временем τ = 2π/ω₀. Заметим, что в данном критическом режиме релаксация происходит быстрее, чем в случае апериодического затухания. Действительно, в данном режиме время релаксации будет определяться меньшим (по абсолютной величине) корнем λ₁ и будет составлять Входящая в это выражение функция Ф(β/ω₀) является монотонно возрастающей и всегда больше или равна 1, как видно из рисунка 4. В рассматриваемом граничном случае (случай 2) отношение β/ω₀ равно 1, а в случае апериодического затухания (случай 1) β/ω₀ > 1. Поэтому для апериодического режима затухания справедливо соотношение Таким образом, граничный или критический режим релаксации обеспечивает максимально быстрый возврат системы в равновесное состояние. Конструкции такого типа используются, например, при закрывании дверей. Здесь корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными: Общее решение дифференциального уравнения имеет колебательный характер и записывается как где частота колебаний ω₁ равна Полученную формулу можно записать в несколько другом виде: где φ₀ − начальная фаза колебаний и Acosφ₀ − начальная амплитуда колебаний. Видно, что в этом режиме происходят классические затухающие колебания. При этом частота колебаний ω₁ меньше гармонической частоты ω₀, а амплитуда колебаний уменьшается по экспоненциальному закону  exp(− βt). Пусть на колебательную систему действует внешняя сила, изменяющаяся со временем по гармоническому закону с частотой ω: В случае незатухающего осциллятора из второго закона Ньютона вытекает дифференциальное уравнение вида В соответствии с общей теорией, решением данного уравнения будет сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения было уже получено выше. Оно записывается в виде где амплитуда A и фаза φ₀ определяются начальными условиями.

Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения. Будем искать его в виде Производные этой функции равны После подстановки в дифференциальное уравнение получаем Следовательно, общее решение неоднородного уравнения записывается в виде Из этого выражения видно, что второе слагаемое, показывающее влияние вынужденной силы, резко возрастает при ω → ω₀. Указанное явление называется резонансом. В данной простой модели амплитуда колебаний x(t) становится равной бесконечности, если частота вынужденной силы равна частоте свободных колебаний системы.

Физическая модель вынужденных колебаний получается более реалистичной, если учесть затухание колебаний. Тогда из второго закона Ньютона вытекает следующее дифференциальное уравнение: Решение этого уравнения также будет представляться в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Решение однородного уравнения, как показано выше, включает в себя три возможных сценария (режим апериодического затухания, граничный режим и колебательное решение в случае малого затухания).

Определим частное решение неоднородного уравнения. Здесь удобнее перейти к комплексной форме дифференциального уравнения, которое запишется как Будем искать частное решение в виде то есть предположим, что колебания в системе будут происходить с частотой внешней силы ω и, возможно, с некоторым сдвигом φ. В результате имеем Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем По формуле Муавра-Лапласа Поэтому можно записать: Приравнивая отдельно действительную и мнимую части, получаем Из этой системы уравнений мы определим коэффициент B и угол φ. Возводя обе части в квадрат и складывая, находим: Угол φ найдем, разделив второе уравнение на первое: Итак, частное решение неоднородного уравнения в комплексной форме имеет вид где угол сдвига φ вычисляется по полученной выше формуле. Соответственно, действительная часть решения записывается как Окончательный ответ представляет собой сумму двух членов: где x_одн(t) − общее решение однородного уравнения, описывающего осциллятор с затуханием без действия вынужденной силы.

Заметим, что вследствие затухания решение однородного уравнения x_одн(t) будет стремиться к нулю. Поэтому в установившемся режиме характер колебаний будет зависеть лишь от вынужденной силы, то есть будет определяться вторым компонентом общего решения: где , β − коэффициент затухания.

Эта формула описывает также и явление резонанса, причем максимальная амплитуда установившихся колебаний при резонансе будет конечной и равной Зависимость амплитуды установившихся колебаний x_max от частоты вынужденной силы ω вблизи резонананса при различных коэффициентах затухания β показана ниже на рисунке 5. Такие кривые называются резонансными кривыми.

Для оценки свойств колебательной системы в окрестности резонанса используют понятие добротности. Добротность показывает во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний при резонансе превышает их амплитуду вдали от резонанса.

При стремлении частоты вынужденной силы ω к нулю амплитуда колебаний механической системы приближается к : Поэтому добротность механической колебательной системы будет равна где β − коэффициент затухания.

Добротность является очень полезной характеристикой. С энергетической точки зрения она показывает отношение энергии, запасенной в колебательной системе, к энергии, которую система теряет за один период колебаний.

Потери энергии характеризуются также логарифмическим декрементом затухания δ. Соотношение между добротностью Q и логарифмическим декрементом затухания δ (при малых δ) выражается простой формулой:

   Пример 1

Кольцо радиуса R совершает малые колебания вокруг точки подвеса O (рисунок 6). Определить период колебаний.
Кольцо, подвешенное в точке O, представляет собой физический маятник. Период его колебаний определяется формулой где I − собственный момент инерции кольца, m − масса кольца, a − расстояние от оси вращения до центра кольца.

Момент инерции кольца массой m равен I₀ = mR². Поскольку расстояние от центра кольца до точки подвеса равно R, то по теореме Штейнера-Гюйгенса полный момент инерции маятника равен Учитывая, что a = R, получаем следующее выражение для периода колебаний:

   Пример 2

Груз подвешен на двух последовательно соединенных пружинах. Жесткость одной пружины в два раза больше жесткости другой: k₂ = 2k₁. Как изменится период колебаний, если пружины соединить параллельно (рисунок 7)? Вычислим эквивалентную жесткость в случае последовательного и параллельного соединения пружин.

В случае последовательного соединения сила упругости в каждой пружине равна силе тяжести (без учета веса самих пружин). Общее удлинение равно сумме удлинений каждой пружины: Тогда эквивалентная жесткость равна При параллельном соединении удлинение обеих пружин будет одинаковым, а полная сила упругости будет равна сумме сил, действующих в каждой пружине: Отсюда находим эквивалентную жесткость для параллельно соединенных пружин: Таким образом, период колебаний при последовательном соединении пружин равен а в случае параллельного соединения: Отсюда находим как изменится период колебаний при переходе от последовательного к параллельному соединению пружин: Учитывая, что жесткость одной пружины в два раза больше жесткости другой, получаем:

   Пример 3

Найти добротность осциллятора,если через 50 колебаний амплитуда смещения уменьшилась в 2 раза.
Вычислим сначала логарифмический декремент затухания δ. По определению, логарифмический декремент затухания пропорционален натуральному логарифму отношения амплитуд x₀ и x_N двух колебаний, отстоящих друг от друга на N периодов: В нашем случае он равен Тогда добротность системы будет составлять