Ортогональные траектории

Дифференциальные Уравнения

Определение и примеры

Пусть семейство кривых задано уравнением

где C − постоянная. Для данного семейства кривых можно построить ортогональные траектории, то есть такое множество кривых f(x,y) = C, которые будут пересекать исходные кривые под прямым углом.

Например, ортогональной траекторией для пучка прямых линий, заданных уравнением y = kx, где k − параметр (наклон прямой), является любая окружность с центром в начале координат (Рисунок 1):

где R − радиус окружности.


Рис.1		Рис.2

Аналогично, ортогональными траекториями для семейства эллипсов

будут являться конфокальные гиперболы, удовлетворяющие уравнению:

Оба семейства кривых схематически изображены ни рисунке 2. Здесь a и b играют роль параметров, описывающих, соответственно, семейство эллипсов и гипербол.

Общий метод нахождения ортогональных траекторий

Общий подход к определению ортогональных траекторий основан на решении дифференциального уравнения в частных производных:

где символ ∇ обозначает градиент функции f(x,y) или g(x,y), а точка означает скалярное произведение двух векторов градиента.

Используя определение градиента, можно записать:

Следовательно, данное уравнение в частных производных можно переписать в виде:

Решая последнее уравнение, определяем уравнение ортогональных траекторий f(x,y) = C.

Практический алгоритм построения ортогональных траекторий

Ниже мы опишем простой алгоритм нахождения ортогональных траекторий f(x,y) = C для заданного семейства кривых g(x,y) = C, используя только обыкновенные дифференциальные уравнения. Этот алгоритм включает следующие шаги:

Сначала мы определяем дифференциальное уравнение G(x,y,y') = 0 для заданного семейства кривых g(x,y) = C. Смотрите подробнее об этом на странице Дифференциальные уравнения плоских кривых.
Далее заменяем в дифференциальном уравнении y' на . В результате получаем дифференциальное уравнение ортогональных траекторий.
Решаем новое дифференциальное уравнение и находим алгебраическое уравнение семейства ортогональных траекторий f(x,y) = C.

Найти ортогональные траектории семейства прямых линий y = Cx, где C − параметр.

Решение.

Воспользуемся описанным выше алгоритмом.

1) Запишем дифференциальное уравнение для заданного семейства прямых y = Cx. Дифференцируя последнее уравнение по переменной x, получаем:

Исключим постоянную C из системы уравнений:

Получаем дифференциальное уравнение для исходного пучка прямых линий.

2) Заменим y' на

. В результате находим дифференциальное уравнение ортогональных траекторий:

3) Наконец решим полученное дифференциальное уравнение и определим алгебраическое уравнение семейства ортогональных траекторий:

Заменяя 2C на R² мы видим, что ортогональные траектории для данного семейства прямых представляют собой концентрические окружности (Рисунок 1):

Семейство гиперболических кривых задано уравнением

. Найти ортогональные траектории к этим кривым.

Решение.

1) Определим дифференциальное уравнение для семейства гипербол. Дифференцируя уравнение по переменной x, получаем:

Исключим параметр C из системы двух уравнений:

Из первого уравнения следует, что C = xy. Подставляя это во второе уравнение, находим:

2) Заменим y' на

3) Теперь проинтегрируем дифференциальное уравнение, описывающее ортогональные траектории:

В последнем уравнении мы заменили 2C просто на C. В итоге мы получили алгебраическое уравнение семейства ортогональных траекторий. Как видно, эти траектории также являются гиперболами. Оба семейства гипербол схематически показаны на рисунке 3.


Рис.3		Рис.4

Определить ортогональные траектории для семейства кривых, заданных степенной функцией y =Cx⁴.

Solution.

1) Найдем дифференциальное уравнение, соответствующее заданному семейству степенных кривых:

Решая систему двух уравнений и исключая C, получаем:

2) Заменяем y' на

Последнее выражение представляет собой дифференциальное уравнение ортогональных траекторий.

3) Интегрируя, можно найти соответствующее алгебраическое уравнение ортогональных траекторий:

Разделим обе части на 2C:

Получаем уравнение семейства эллипсов, которые будут ортогональны к заданному семейству степенных кривых y =Cx⁴. Отношение длин полуосей этих эллипсов равно