Дифференциальные уравнения плоских кривых

Как известно, решение дифференциального уравнения изображается графически в виде семейства интегральных кривых. Можно поставить и обратную задачу: сконструировать дифференциальное уравнение для заданного семейства плоских кривых, описываемых алгебраическим уравнением!

Итак, допустим, что семейство плоских кривых описывается неявным однопараметрическим уравнением: Будем предполагать, что функция F имеет непрерывные частные производные по x и y. Чтобы записать соответствующее дифференциальное уравнение первого порядка, нужно выполнить следующие шаги:

1. Продифференцировать F по x, рассматривая y как функцию x:
   
2. Решить систему уравнений:
   
   исключая из нее параметр C.

В случае, если семейство плоских кривых задано двухпараметрическим уравнением то последнее выражение нужно продифференцировать дважды, рассматривая переменную y как функцию x и затем исключая параметры C₁ и C₂ из системы трех уравнений.

Аналогичное правило применяется и в случае n-параметрического семейства плоских кривых.

   Пример 1

Определить дифференциальное уравнение для семейства кривых, заданных уравнением  y = e ^x+C. Дифференцируя заданное уравнение по x, получаем: Параметр C можно легко исключить из системы уравнений: В результате мы получаем простое однородное дифференциальное уравнение:

   Пример 2

Вывести дифференциальное уравнение для семейства плоских кривых, заданных уравнением  y = x² − Cx. Продифференцируем заданное уравнение по переменной x: Запишем последнее уравнение совместно с исходным алгебраическим уравнением и исключим параметр C: В результате получаем дифференциальное уравнение (не разрешенное относительно производной), соответствующее данному семейству плоских кривых.

   Пример 3

Составить соответствующее дифференциальное уравнение для семейства плоских кривых, заданных уравнением  y = cot(x − C). Дифференцируя алгебраическое уравнение по переменной x, получаем: Заметим, что Поэтому, можно записать: Следовательно, искомое дифференциальное уравнение имеет вид:

   Пример 4

Семейство кривых задано функцией , где C − параметр, а α − некоторый произвольный угол. Записать дифференциальное уравнение для данного семейства плоских кривых. Сначала мы продифференцируем алгебраическое уравнение по переменной x, рассматривая y как функцию x: Исключим C из системы уравнений: Для этого обе части каждого уравнения возведем в квадрат и затем сложим их: Подставляя найденное выражение для C в дифференциальное уравнение, находим: Таким образом, наше семейство плоских кривых описывается следующим дифференциальным уравнением, не разрешенным относительно производной:

   Пример 5

Вывести дифференциальное уравнение для семейства двухпараметрических плоских кривых  y = C₁x² + C₂x. Продифференцируем данное уравнение дважды по переменной x и запишем следующую систему трех уравнений: Из последнего уравнения выразим параметр C₁ и подставим его в первые два уравнения: Теперь можно выразить другой параметр C₂ через производные функции y и подставить это в первое уравнение. Искомое дифференциальное уравнение имеет вид: