Метод матричной экспоненты

Рассмотрим квадратную матрицу A размером n x n, элементы которой могут быть как действительными, так и комплексными числами. Поскольку матрица A квадратная, то для нее определена операция возведения в степень, т.е. мы можем вычислить матрицы где через I обозначена единичная матрица порядка n.

Составим бесконечный матричный степенной ряд Сумма данного бесконечного ряда называется матричной экспонентой и обозначается как exp (tA): Этот ряд является абсолютно сходящимся.

В предельном случае, когда матрица состоит из одного числа a, т.е. имеет размер 1 x 1, приведенная формула превращается в известную формулу разложения экспоненциальной функции exp (at)  в ряд Маклорена: Матричная экспонента обладает следующими основными свойствами:

• Если A − нулевая матрица, то exp (tA) = exp (0) = I;
• 
  
• Если A = I (I − единичная матрица), то exp (tI) = exp (t)I;
• 
  
• Если для A существует обратная матрица A⁻¹, то exp (A)exp (−A) = I;
• 
  
• exp (mA)exp (nA) = exp ((m+n)A), где m, n − произвольные действительные или комплексные числа;
• 
  
• Производная матричной экспоненты выражается формулой
  
  
• Пусть H − невырожденное линейное преобразование.
  
  
• 
  

Матричная экспонента может успешно использоваться для решения систем дифференциальных уравнений. Рассмотрим систему линейных однородных уравнений, которая в матричной форме записывается в виде Общее решение такой системы представляется через матричную экспоненту в виде где C = (C₁, C₂, ..., C_n) ^T − произвольный n-мерный вектор. Символ ^T обозначает операцию транспонирования. В этой формуле мы не можем записать вектор C перед матричной экспонентой, поскольку произведение матриц не определено.

Для задачи с начальными условиями (задачи Коши) компоненты вектора C выражаются через начальные условия. В этом случае решение однородной системы записывается в виде Таким образом, решение однородной системы уравнений становится известным, если вычислена соответствующая матричная экспонента. Для ее вычисления можно воспользоваться бесконечным рядом, который содержится в определении матричной экспоненты. Однако часто это позволяет найти матричную экспоненту лишь приближенно. Для решения задачи можно использовать также алгебраический способ, основанный на последнем свойстве из перечисленных выше. Рассмотрим этот способ и общий ход решения более подробно.

1. Сначала находим собственные значения λ_i матрицы (линейного оператора) A;
   
2. Вычисляем собственные и (в случае кратных собственных значений) присоединенные векторы;
   
3. Из полученных собственных и присоединенных векторов составляем невырожденную матрицу линейного преобразования H. Вычисляем соответствующую обратную матрицу H ⁻¹;
   
4. Находим нормальную жорданову форму J для заданной матрицы A, используя формулу
   
   Примечание: В процессе нахождения собственных и присоединенных векторов часто становится ясной структура каждой жордановой клетки. Это позволяет сразу записать жорданову форму без вычисления по указанной формуле.
   
5. Зная жорданову форму J, cоставляем матрицу exp (tJ). Соответствующие формулы для такого преобразования выводятся из определения матричной экспоненты. Для некоторых простых жордановых форм матрица exp (tJ) имеет вид, приведенный в таблице:
   
6. Вычисляем матричную экспоненту exp (tA) по формуле
   
7. Записываем общее решение системы, которое имеет следующий вид:
   
   В случае систем дифференциальных уравнений 2-го порядка общее решение выражается формулой
   
   где C₁, C₂ − произвольные постоянные.
   

   Пример 1

Найти общее решение системы уравнений, используя матричную экспоненту: Решим данную систему, следуя описанному выше алгоритму. Вычислим собственные значения матрицы A: Для каждого из собственных значений найдем собственные векторы. Для числа λ₁ = 5 получаем: Полагая V₂₁ = t, находим собственный вектор V₁ = (V₁₁, V₂₁) ^T: Аналогично находим собственный вектор V₂ = (V₁₂, V₂₂) ^T, ассоциированный с собственным значением λ₂ = −1: Пусть V₂₂ = t. Тогда V₁₂ = −V₂₂ = −t. Следовательно, Составим матрицу H из найденных собственных векторов V₁ и V₂: Вычислим обратную матрицу H ⁻¹: Поскольку в данном примере собственные числа являются простыми корнями характеристического уравнения, то можно сразу записать жорданову форму, которая будет иметь простой диагональный вид: Проверим это, используя формулу перехода от исходной матрицы A к нормальной жордановой форме J: Составим теперь матрицу (ее тоже можно назвать матричной экспонентой) exp (tJ): Вычислим матричную экспоненту exp (tA): Общее решение системы записывается в виде где C₁, C₂ − произвольные числа.

Данный ответ можно выразить также и в другой форме: где через B₁ и B₂ обозначены произвольные постоянные, связанные с C₁, C₂.

   Пример 2

Решить систему уравнений методом матричной экспоненты: Решим характеристическое уравнение и найдем собственные значения: Итак, мы имеем одно собственное значение λ₁ = 4 кратностью 2. Определим собственный вектор V₁ = (V₁₁, V₂₁) ^T: Отсюда следует, что координата V₁₁ = 0, а координата V₂₁ может быть произвольной. Выберем для простоты V₂₁ = 1. Следовательно, собственный вектор V₁ равен: V₁ = (0, 1) ^T.

Второй линейно независимый вектор определим как вектор V₂ = (V₁₂, V₂₂) ^T, присоединенный к V₁. Он находится из уравнения Здесь координата V₂₂ может быть любым числом. Выберем V₂₂ = 0. Тогда получаем V₁₁ = 1. Таким образом присоединенный вектор равен: V₂ = (1, 0) ^T.

Теперь из найденных базисных векторов составим матрицу H − матрицу перехода от A к нормальной жордановой форме J: Вычислим обратную матрицу H ⁻¹: Здесь H_ij обозначают алгебраические дополнения к элементам матрицы H. В результате вычислений находим: Интересно, что в данном примере обратная матрица H ⁻¹ совпадает с исходной матрицей H. Такой эффект возможен, если квадрат исходной матрицы равен единичной матрице: Жорданова форма J для матрицы A имеет вид: Как видно, жорданова форма J состоит из одной клетки размером 2.

Составляем матрицу exp (tJ): Вычисляем матричную экспоненту exp (tA): Общее решение системы записывается как где C₁, C₂ − произвольные константы.

   Пример 3

Решить систему уравнений с помощью матричной экспоненты: В данном случае матрица коэффициентов A имеет вид: Вычислим ее собственные значения: Итак, матрица A имеет пару комплексно-сопряженных собственных значений. Для каждого собственного числа определим собственный вектор (он может иметь комплексные координаты).

Пусть числу λ₁ = 1 + i соответствует собственный вектор V₁ = (V₁₁, V₂₁) ^T. Координаты этого вектора удовлетворяют следующему матрично-векторному уравнению: Полагаем V₂₁ = t. Тогда V₁₁ = −it. Следовательно, собственный вектор V₁ равен: Аналогично найдем собственный вектор V₂ = (V₁₂, V₂₂) ^T, ассоциированный с числом λ₂ = 1 − i : Здесь полагаем V₂₂ = t. Следовательно, V₁₂ = it. Тогда вектор V₂ будет равен: Составляем матрицу H из найденных собственных векторов V₁ и V₂: Вычисляем обратную матрицу H ⁻¹ по формуле где Δ(H) − определитель матрицы H, H_ij − алгебраические дополнения к элементам матрицы H. В результате получаем: Теперь найдем нормальную жорданову форму J по формуле Выполняя вычисления, находим: Вообще говоря, мы могли бы сразу записать жорданову форму J, которая в данном случае имеет диагональный вид (поскольку собственные числа λ₁, λ₂ имеют кратность 1). Будем считать, что вычисление J сделано для проверки, а матрицы H и H ⁻¹ нам необходимы далее для определения матричной экспоненты.

Составим теперь матрицу exp (tJ): Рассчитаем матричную экспоненту exp (tA): Экспоненциальные функции exp (it), exp (−it) разложим по формуле Эйлера: Получаем следующий результат: Общее решение заданной системы уравнений выражается формулой где C = (C₁, C₂) ^T − произвольный вектор.

   Пример 4

Решить систему уравнений с помощью матричной экспоненты: Начнем решение с вычисления собственных значений: Раскладываем определитель по первому столбцу: Мы получили три собственных значения кратностью 1. Найдем для них соответствующие собственные векторы.

Пусть числу λ₁ = 0 соответствует собственный вектор V₁ = (V₁₁, V₂₁, V₃₁) ^T. Определим его из следующего соотношения Полагаем V₃₁ = t. Выразим через t остальные координаты: Можно проверить, что первое уравнение также соблюдается (поскольку оно является зависимым от других): Итак, координаты собственного вектора V₁ равны: Аналогично найдем координаты второго вектора V₂ = (V₁₂, V₂₂, V₃₂) ^T, ассоциированного с числом λ₂ = −1: Здесь можно положить V₃₂ = t. Тогда Следовательно, собственный вектор V₂ имеет такие координаты: Наконец, найдем третий собственный вектор V₃ = (V₁₃, V₂₃, V₃₃) ^T, соответствующий собственному значению λ₃ = 1: Пусть V₃₃ = t. Тогда Следовательно, собственный вектор V₃ равен Зная собственные значения λ₁, λ₂, λ₃, каждое из которых имеет кратность 1, можно записать жорданову форму J для матрицы A: Составим матрицу H, столбцы которой образованы собственными векторами V₁, V₂, V₃: Вычислим обратную матрицу H ⁻¹. Обе матрицы H и H ⁻¹ понадобятся нам для нахождения матричной экспоненты. Получаем: Алгебраические дополнения H_ij имеют следующие значения: Обратная матрица H ⁻¹ равна Теперь мы имеем все необходимое, чтобы найти матричную экспоненту.

Зная жорданову матрицу J запишем матрицу exp (tJ): Вычислим матричную экспоненту exp (tA): Общее решение системы (в несколько громоздком виде) выражается формулой где C = (C₁, C₂, C₃) ^T − произвольный постоянный вектор.

Данный ответ можно представить в виде суммы, каждый член которой является произведением экспоненциальной функции с собственным значением λ_i и собственного вектора V_i : где B = (B₁, B₂, B₃) ^T − произвольный вектор.