Ряды Тейлора и Маклорена

Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора: где R_n − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a.

Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

   Пример 1

Найти ряд Маклорена для функции . Воспользуемся тригонометрическим равенством .
Поскольку ряд Маклорена для cos x имеет вид , то можно записать Отсюда следует:

   Пример 2

Разложить в ряд Тейлора функцию в точке x = 1. Вычислим производные: Видно, что для всех n ≥ 3. Для x = 1 получаем значения: Следовательно, разложение в ряд Тейлора имеет вид

   Пример 3

Найти разложение в ряд Маклорена функции e ^kx, k − действительное число. Вычислим производные: Тогда в точке x = 0 получаем Следовательно, разложение данной функции в ряд Маклорена выражается формулой

   Пример 4

Найти разложение в ряд Тейлора кубической функции x³ в точке x = 2. Обозначим . Тогда и далее для всех x ≥ 4.
В точке x = 2, соответственно, получаем Таким образом, разложение в ряд Тейлора имеет вид

   Пример 5

Найти разложение в ряд Маклорена функции . Пусть , где μ − действительное число, и x ≠ −1. Производные будут равны При x = 0, соответственно, получаем Следовательно, разложение в ряд записывается в виде Полученное выражение называется биномиальным рядом.

   Пример 6

Найти разложение в ряд Маклорена функции . Используя формулу биномиального ряда, найденную в предыдущем примере, и подставляя , получаем Ограничиваясь первыми 3-мя членами, разложение можно записать в виде