Система тел и пружин

Система тел, соединенных между собой пружинами, является классической системой с несколькими степенями свободы. Так, например, система двух тел с тремя пружинами имеет две степени свободы. Это означает, что ее конфигурацию можно описать двумя обобщенными координатами, в качестве которых удобно взять смещения первого и второго тела от положения равновесия.

Движение связанных тел описывается системой двух дифференциальных уравнений 2-го порядка. В простейшем случае можно пренебречь силами трения и сопротивления воздуха и учитывать лишь силы упругости, которые подчиняются закону Гука. Оказывается, даже такая упрощенная система обладает нетривиальными динамическими свойствами. В целом, характер ее движения определяется двумя собственными частотами, которые зависят от параметров системы (т.е. от масс тел и коэффициентов жесткости пружин). Кроме того, движение тел существенно зависит от начальных условий. Влияние этих факторов можно изучить с помощью представленной ниже анимации. Несмотря на разнообразный характер движения, система является линейной и, следовательно, допускает точное решение. Наша дальнейшая цель состоит в том, чтобы построить это решение, детально описывая все шаги.

Данная система схематически изображена на рисунке 1. Она состоит из двух тел, массы которых равны m₁ и m₂, и трех пружин с коэффициентами жесткости k₁, k₂, k₃. Смещение тел от положений равновесия определяется координатами x₁ и x₂. Составим уравнения движения. Это можно сделать непосредственно с помощью второго закона Ньютона или используя Лагранжев формализм. Мы воспользуемся вторым методом. Запишем выражения для кинетической и потенциальной энергии системы. Заметим, что в данной идеальной системе полная энергия сохраняется. Здесь точками, как это принято в механике, обозначены первые производные координат, т.е. скорости тел. Лагранжиан системы записывается в следующем виде: Составим дифференциальные уравнения Лагранжа: Найдем частные производные: В результате получаем следующую систему уравнений, описывающую движение тел: Эту систему можно представить в матричной форме: Будем искать решение X(t) в форме гармонических колебаний, т.е. в виде где B₁, B₂ − амплитуды колебаний тел, ω − собственные частоты колебаний, подлежащие определению.

Подставляя пробные функции x₁(t), x₂(t) в матричное уравнение, получаем характеристическое уравнение для определения собственных частот колебаний: Решая это биквадратное уравнение, находим собственные частоты колебаний. Вычислим сначала дискриминант: Тогда квадраты собственных частот будут описываться формулой Далее, чтобы избежать громоздких формул, рассмотрим более простой случай, когда жесткость всех пружин одинакова: k₁ = k₂ = k₃ = k. Кроме того, введем отношение масс тел: μ = m₂/m₁. Тогда формула для квадрата частот колебаний принимает такой вид: Полученное соотношение описывает 2 собственных частоты: ω₁ (со знаком "плюс") и ω₂ (со знаком "минус"). Зависимости частот ω₁, ω₂ от отношения масс μ показаны на рисунке 2. В случае равных масс (μ = 1) собственные частоты колебаний будут описываться следующими компактными формулами: Заметим, что частоты ω₁, ω₂ всегда являются действительными числами. Это следует из общих физических соображений. Действительно, при мнимой частоте возникла бы утечка энергии, что противоречило бы условию сохранения энергии в системе. Данный факт, однако, можно установить и чисто математическим путем. В самом деле, вопрос возникает лишь для частоты ω₂. Условие неотрицательности для ω₂² выглядит так: Здесь левая часть неравенства и выражение под корнем в правой части всегда положительны. После возведения обеих частей неравенства в квадрат получаем: что всегда выполняется.

Найдем собственный вектор H₁ = (H₁₁, V₂₁) ^T (верхний индекс ^T обозначает операцию транспонирования), соответствующий частоте ω₁. Он определяется из матрично-векторного уравнения Следовательно, В последней системе оба уравнения являются линейно зависимыми (поскольку определитель матрицы K равен нулю при ω² = ω₁²). Поэтому, координаты собственного вектора H₁ можно выразить, например, из первого уравнения. Пусть H₁₁ = 1. Тогда Таким образом, вектор H₁ имеет следующие координаты: Аналогично можно определить собственный вектор H₂ = (H₁₂, V₂₂) ^T, соответствующий частоте ω₂. В этом случае для H₂ имеем уравнение В развернутом виде оно записывается как Полагая H₁₂ = 1, из первого уравнения найдем координату H₂₂: Следовательно, После того, как собственные частоты ω₁, ω₂ и собственные векторы H₁, H₂ найдены, можно записать общее решение системы. Учтем, что каждый из собственных векторов соответствует квадрату собственной частоты, т.е. двум значениям частот с противоположными знаками. Вектору H₁ соответствуют две частоты ± ω₁, а вектору H₂ − частоты ± ω₂. В результате общее комплексное решение представляется в виде суммы четырех слагаемых: где C₁,...C₄ − постоянные (в данном случае комплексные) числа. Пусть данные числа записываются в виде Чтобы величины x₁(t), x₂(t) оставались действительными при любом значении t, необходимо, чтобы выполнялись соотношения Тогда мнимые части общего решения будут сокращаться. Действительно, Выражения в квадратных скобках можно упростить по формуле Эйлера: Следовательно, Далее удобно ввести фазовые углы φ₁, φ₂ и воспользоваться тригонометрической формулой В результате общее решение будет записываться в следующем виде: где действительные постоянные A₁, A₂, φ₁, φ₂ зависят от начальных смещений и начальных скоростей тел, а собственные частоты ω₁, ω₂ и собственные векторы H₁, H₂ определяются соотношениями Закон изменения скоростей тел находится путем дифференцирования общего решения: Отсюда видно, что если в начальный момент t = 0 скорости тел равны нулю, то фазовые углы φ₁, φ₂ также равны нулю. Далее будем рассматривать именно такой случай. Общее решение представляет собой сумму двух гармоник с частотами ω₁, ω₂: Вычислим постоянные A₁, A₂ в зависимости от начальных смещений. Пусть Следовательно, Эту алгебраическую систему можно решить по формулам Крамера: Итак, при начальных условиях получаем следующую формулу общего решения: где постоянные A₁, A₂ равны а собственные векторы и собственные частоты выражаются через отношение масс μ, массу второго тела m₂ и коэффициент жесткости пружин k по приведенным выше формулам.

Полученные выражения значительно упрощаются, когда массы обоих тел одинаковы. Полагая μ = 1, получаем следующие формулы (при тех же самых начальных условиях): Следовательно, в случае одинаковых масс и одинаковых коэффициентов жесткости законы движения тел определяются соотношениями: В начале web-страницы представлена анимация, демонстрирующая характер колебаний тел, соединенных пружинами, при различных параметрах системы μ, k и начальных смещениях x₁₀, x₂₀. В модели принято значение m₂ = 2 (кг). Коэффициент жесткости k измеряется в Н/м. Смещения грузов показаны в сантиметрах в масштабе 1 см = 1 пиксель (график имеет масштаб 1 см = 3 пикселя).

Видно, что в системе наблюдаются биения, при которых энергия циклически перераспределяется от одного тела к другому. При близких начальных смещениях одного знака грузы двигаются синфазно. И наоборот, при противоположных смещениях движение происходит в противофазе.

Системы тел и пружин являются физической основой при моделировании и решении многих инженерных задач. Такого рода модели используются при проектировании строительных конструкций или, например, при разработке спортивной одежды. Разумеется, в реальных ситуациях система уравнений может быть гораздо более сложной.