Линейные системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами

Нормальная линейная система дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами записывается в виде где x_i (t) − неизвестные функции, которые являются непрерывными и дифференцируемыми на некотором интервале [a, b]. Коэффициенты a_ij (t) и свободные члены f_i (t) представляют собой непрерывные функции, заданные на интервале [a, b].

Используя векторно-матричные обозначения, данную систему уравнений можно записать как где В общем случае матрица A(t) и вектор-функции X(t), f(t) могут принимать как действительные, так и комплексные значения.

Соответствующая однородная система с переменными коэффициентами в векторной форме имеет вид Вектор-функции x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t) являются линейно зависимыми на интервале [a, b], если найдутся такие числа c₁, c₂, ..., c_n, одновременно не равные нулю, что выполняется тождество Если указанное тождество выполняется лишь при условии то вектор-функции x_i (t) называются линейно независимыми на заданном интервале.

Любая система n линейно независимых решений x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t) называется фундаментальной системой решений.

Квадратная матрица Φ(t), столбцы которой образованы линейно независимыми решениями x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t), называется фундаментальной матрицей системы уравнений. Она имеет следующий вид: где x_ij (t) − координаты линейно независимых векторных решений x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t).

Заметим, что фундаментальная матрица Φ(t) является невырожденной, т.е. для нее всегда существует обратная матрица Φ ⁻¹(t). Поскольку фундаментальная матрица содержит n линейно независимых решений, то при ее подстановке в однородную систему уравнений получаем тождество Умножим это уравнение справа на обратную функцию Φ ⁻¹(t): Полученное соотношение однозначно определяет однородную систему уравнений, если задана фундаментальная матрица.

Общее решение однородной системы выражается через фундаментальную матрицу в виде где C − n-мерный вектор, состоящий из произвольных чисел.

Упомянем один интересный частный случай однородных систем. Оказывается, если произведение матрицы A(t) и интеграла от этой матрицы коммутативно, т.е. то фундаментальная матрица Φ(t) для данной системы уравнений имеет вид Такое свойство выполняется в случае симметрических матриц и, в частности, в случае диагональных матриц. Определитель фундаментальной матрицы Φ(t) называется определителем Вронского или вронскианом системы решений x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t): Определитель Вронского удобно использовать для проверки линейной независимости решений. Справедливы следующие правила:

• Решения x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t) однородной системы уравнений являются фундаментальной системой тогда и только тогда, когда соответствующий вронскиан отличен от нуля в какой-нибудь точке t интервала [a, b].
• 
  
• Решения x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t) являются линейно зависимыми на интервале [a, b] тогда и только тогда, когда вронскиан тождественно равен нулю на этом интервале.

Для определителя Вронского системы решений x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t) справедлива формула Лиувилля-Остроградского: где tr (A(τ)) − след матрицы A(τ), т.е. сумма всех диагональных элементов: Формула Лиувилля-Остроградского может применяться для построения общего решения однородной системы, если известно одно частное решение этой системы. Перейдем к рассмотрению неоднородных систем, которые в векторно-матричной форме записываются в виде Общее решение такой системы представляется в виде суммы общего решения X₀(t) соответствующей однородной системы и частного решения X₁(t) неоднородной системы, т.е. где Φ(t) − фундаментальная матрица, C − произвольный числовой вектор.

Наиболее общим методом решения неоднородных систем является метод вариации постоянных (метод Лагранжа). При использовании этого метода вместо постоянного вектора C мы рассматриваем вектор C(t), компоненты которого являются непрерывно дифференцируемыми функциями независимой переменной t, т.е. полагаем Подставляя это выражение в неоднородную систему, находим неизвестный вектор C(t): Учитывая, что матрица Φ(t) невырожденная, умножим последнее уравнение слева на Φ⁻¹(t): После интегрирования получаем вектор C(t).

   Пример 1

Составить линейную систему уравнений, имеющей решения В задаче задана фундаментальная матрица системы: Вычислим обратную матрицу Φ⁻¹(t): Здесь через C_ij обозначена матрица алгебраических дополнений к элементам фундаментальной матрицы Φ(t).

Матрица коэффициентов системы уравнений находится по формуле Производная фундаментальной матрицы (она вычисляется поэлементно) равна Отсюда получаем Следовательно, система уравнений, решения которой равны x₁(t), x₂(t), записывается в виде

   Пример 2

Найти фундаментальную матрицу системы дифференциальных уравнений убедившись в том, что матрица коэффициентов A(t) перестановочна со своим интегралом.

Проверим сначала, что перемножение матрицы A(t) со своим интегралом коммутативно. Исходная матрица имеет вид: Интеграл от матрицы A(t) находится поэлементным интегрированием. Для простоты преобразований примем нижний предел интегрирования равным нулю. Тогда В результате получаем Итак, свойство коммутативности произведения матриц соблюдается. Поэтому фундаментальная матрица выражается формулой Вычислим матричную экспоненту, преобразовав матрицу к диагональному виду. В данном случае собственные значения зависят от переменной t и выражаются в следующем виде: Для каждого собственного значения найдем соответствующий собственный вектор. Для λ₁ получаем: Аналогично находим собственный вектор V₂ = (V₁₂, V₂₂) ^T для собственного числа λ₂: Тогда матрица перехода к диагональной (точнее к жордановой) форме имеет вид: Вычислим обратную матрицу H ⁻¹: Следовательно, жорданова форма J будет выглядеть следующим образом: Экспонента от матрицы J равна Теперь можно вычислить фундаментальную матрицу Φ(t):

   Пример 3

Найти общее решение системы если известно одно решение: Пусть второе линейно независимое решение выражается векторной функцией с начальным условием .

Воспользуемся формулой Лиувилля-Остроградского, которая записывается в виде: Отсюда получаем соотношение между неизвестными функциями u и v: Рассмотрим второе уравнение исходной системы. Подставляя в него решение X₂(t), запишем его в виде Из предыдущего уравнения можно выразить слагаемое tv: Подставим его в дифференциальное уравнение для функции v(t): Учитывая, что tu = v − 1, получаем линейное линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка для функции v(t): Найдем сначала решение соответствующего однородного уравнения. где C − произвольное число.

Теперь определим решение неоднородного уравнения, используя метод вариации постоянных: После подстановки получаем выражение для производной dC/dt: Интегрируя, находим функцию C(t): Тогда функция v(t) будет выражаться формулой Далее легко найти и функцию u(t): Итак, второе решение системы уравнений имеет вид: Общее решение системы записывается как где C₁, C₂ − произвольные постоянные.

   Пример 4

Найти общее решение линейной неоднородной системы уравнений Сначала построим общее решение однородной системы Заметим, что матрица системы A(t) симметрична. Проверим коммутативность произведения матрицы A(t) и интеграла от нее (интегрирование выполняется поэлементно). Как видно, перемножение указанных матриц коммутативно. Поэтому фундаментальная матрица системы описывается формулой Теперь выполним необходимые преобразования с матричной экспонентой, чтобы записать общее решение однородной системы.

Определим собственные значения: Для каждого собственного значения λ₁, λ₂ определим собственные векторы. Для числа λ₁ получаем: Аналогичным образом находим собственный вектор V₂ = (V₁₂, V₂₂) ^T для числа λ₂: Следовательно, матрица перехода от исходной матрицы A(t) к жордановой форме J имеет вид: Вычислим обратную матрицу H ⁻¹: Убедимся, что жорданова форма J для матрицы A(t) является диагональной с собственными значениями λ₁, λ₂ на диагонали: Матричная экспонента для найденной матрицы J равна Тогда фундаментальная матрица Φ(t) принимает следующий вид: Таким образом, общее решение однородной системы выражается формулой Теперь определим частное решение X₁(t) неоднородной системы. В соответствии с методом вариации постоянных заменим постоянный вектор C на векторную функцию C(t). Производная этой векторной функции определяется соотношением Вычислим обратную матрицу Φ⁻¹(t), входящую в эту формулу. В результате получаем следующее выражение для производной C'(t): Проинтегрируем это выражение: Последний интеграл вычисляется по частям: Следовательно, где A₁ − произвольная постоянная.

Аналогично находим функцию C₂(t): Итак, общее решение исходной неоднородной системы записывается в виде: Здесь компонент X₁(t), соответствующий неоднородной части системы, допускает более простую запись: Таким образом, окончательный ответ выглядит так: