Интегрирование иррациональных функций

Для интегрирования иррациональной функции, содержащей используется подстановка .

Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней x, применяется подстановка в форме , где n полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию.

Рациональная функция x под знаком корня n-ой степени, т.е. выражение вида , интегрируется с помощью подстановки .
Интегрирование иррациональных функций, содержащих и , рассматривается на странице Тригонометрические и гиперболические подстановки

   Пример 1

Найти интеграл . Сделаем подстановку: Вычислим интеграл

   Пример 2

Вычислить интеграл . Используем следующую подстановку: Тогда интеграл (обозначим его как I ) равен Разделим числитель на знаменатель, выделив правильную рациональную дробь. Находим искомый интеграл:

   Пример 3

Вычислить интеграл . Запишем интеграл в виде Поскольку наименьшее общее кратное знаменателей дробных степеней равно 3, то сделаем замену: Получаем новый интеграл Сделаем еще одну замену: Находим окончательный ответ:

   Пример 4

Вычислить интеграл . Запишем интеграл в более удобном виде: Сделаем подстановку: Интеграл через новую переменную u имеет вид Поскольку степень числителя больше степени знаменателя, разделим числитель на знаменатель. Окончательно получаем

   Пример 5

Вычислить интеграл . Перепишем интеграл в виде Как видно, наименьшее общее кратное знаменателей дробных степеней равно 12. Поэтому используем подстановку Интеграл принимает вид Разделим многочлен в числителе на многочлен в знаменателе, чтобы избавиться от неправильной рациональной дроби. После несложных преобразований получим окончательный ответ.

   Пример 6

Вычислить интеграл . Сделаем подстановку: Получаем

   Пример 7

Вычислить интеграл . Используем подстановку Тогда интеграл равен