Раскрытие неопределенностей

Пусть заданы две функции f (x) и g (x), такие, что В этом случае говорят, что функция имеет неопределенность типа в точке x = a. Чтобы найти предел при x = a когда функция содержит неопределенность , нужно разложить на множители числитель и/или знаменатель и затем сократить члены, стремящиеся к нулю.

Примечание: В данном разделе при вычислении пределов не используется правило Лопиталя.

Пусть две функции f (x) и g (x) обладают свойством где a является действительным числом, либо стремится к + ∞ или − ∞. Говорят, что в этом случае функция имеет в точке a неопределенность типа . Для вычисления предела в этой точке необходимо разделить числитель и знаменатель на x в наивысшей степени.

Неопределенности этих типов сводятся к рассмотренным выше неопределенностям типа и .

   Пример 1

Вычислить предел . Подставив напрямую значение x = 1, убеждаемся, что данная функция имеет неопределенность в точке x = 1. Разложив числитель на множители, получаем

   Пример 2

Вычислить предел . Функция имеет неопределенность типа в точке y = −2. Разложим числитель и знаменатель на множители. (Мы использовали здесь формулу разложения квадратного трехчлена на множители: ax² + bx + c = a (x − x₁)(x − x₂), где x₁ и x₂ - корни квадратного уравнения.)

Аналогично, Таким образом, предел равен

   Пример 3

Вычислить предел . Подстановка показывает, что функция имеет неопределенность типа . Разделим числитель и знаменатель на x³ (x в наивысшей степени знаменателя). В результате получаем

   Пример 4

Вычислить предел . Перепишем знаменатель в виде и разложим его как разность кубов: В результате можно найти предел:

   Пример 5

Вычислить предел . Сделаем замену переменной: . Тогда . Получаем Преобразуем полученное выражение, используя формулу приведения . В результате находим значение предела

   Пример 6

Вычислить предел . Если , то Таким образом, здесь мы имеем дело с неопределенностью типа . Умножим и разделим данную иррациональную функцию на сопряженное выражение. Вычисляя предел каждого члена, получаем ответ:

   Пример 7

Найти предел . Для вычисления предела избавимся от иррациональностей в числителе и знаменателе, умножив их на соответствующие сопряженные выражения.

   Пример 8

Найти предел . Разделим числитель и знаменатель на x³⁰ (x в наивысшей степени). Получаем

   Пример 9

Найти предел . Используя формулы преобразуем предел и найдем его значение:

   Пример 10

Найти предел . Пусть . Тогда при . Следовательно,

   Пример 11

Найти предел . Данная функция определена только при t ≥ 0. Умножим и разделим ее на сопряженное выражение . Получаем Теперь и числитель, и знаменатель стремятся к ∞ при . Следовательно, разделим числитель и знаменатель на - то есть t в наивысшей степени знаменателя. Тогда

   Пример 12

Найти предел . Используя тригонометричское тождество , перепишем предел в следующем виде В последнем выражении первый предел, очевидно, равен 1. Во втором пределе функция косинус ограничена в интервале от −1 до 1, а знаменатель стремится к ∞ при . Поэтому, окончательный ответ равен