Уравнения, не разрешенные относительно производной

Уравнение вида где F − непрерывная функция, называется уравнением первого порядка, не разрешенным относительно производной. Если это уравнение можно решить относительно y', то мы получаем одно или несколько явных дифференциальных уравнений вида которые решаются методами, рассмотренными в других разделах.

Далее мы предполагаем, что дифференциальное уравнение не приводится к явной форме. Основной метод решения таких неявных уравнений − это метод введения параметра. Ниже мы покажем, как этот метод используется для нахождения общего решения для некоторых важных частных случаев уравнений, не разрешенных относительно производной.

Отметим, что общее решение может не покрывать все возможные решения дифференциального уравнения. Помимо общего решения, дифференциальное уравнение может также содержать так называемые особые решения. Более детально это рассматривается на странице Особые решения дифференциальных уравнений. В этом случае переменная x выражается явно через переменную y и ее производную y'. Введем параметр . Продифференцируем уравнение x = f(y,y') по переменной y. Получаем: Поскольку , то последнее выражение можно переписать в виде: Получаем явное дифференциальное уравнение, общее решение которого описывается функцией где C − произвольная постоянная.

Таким образом, общее решение исходного дифференциального уравнения определяется в параметрической форме системой двух алгебраических уравнений: Если из этой системы исключить параметр p, то общее решение можно выразить в явном виде x = f(y,C). Здесь мы встречаемся с похожим случаем, но теперь переменная y явно зависит от x и y'. Введем параметр и продифференцируем уравнение y = f(x,y') по переменной x. В результате имеем: Решая последнее дифференциальное уравнение, получаем алгебраическое уравнение g(x,p,C) = 0. Вместе с исходным уравнением оно образует следующую систему уравнений: которая описывает общее решение заданного дифференциального уравнения в параметрической форме. В некоторых случаях, когда параметр p можно исключить из системы, общее решение записывается в явной форме y = f(x,C). В данном случае дифференциальное уравнение не содержит переменную y. Используя параметр , легко построить общее решение уравнения. Так как dy = pdx и то справедливо соотношение: Интегрируя последнее уравнение, получаем общее решение в параметрической форме: Уравнение такого типа не содержит переменную x и решается аналогичным образом. Используя параметр , можно записать: Отсюда следует, что Интегрируя последнее выражение, получаем общее решение исходного дифференциального уравнения в параметрической форме:

   Пример 1

Найти общее решение уравнения  g(y')² − 4x = 0. Это уравнение относится к типу x = f(y') (Случай 3). Введем параметр p = y' и запишем уравнение в виде: Возьмем дифференциалы обеих частей уравнения: Поскольку dy = pdx, то последнее выражение можно представить как Интегрируя, находим зависимость переменной y от параметра p: где C − произвольная постоянная.

Таким образом, мы получили общее решение уравнения в параметрической форме: Параметр p можно исключить из системы уравнений. Из второго уравнения находим: После подстановки в первое уравнение получаем общее решение в виде явной функции y = f(x):

   Пример 2

Найти общее решение дифференциального уравнения  y = ln(25 + (y')²). Это дифференциальное уравнение относится к случаю 1, поскольку оно содержит переменную y и ее производную y'. Используя параметр p, мы можем переписать это уравнение в следующем виде: Возьмем дифференциалы от обеих частей: Поскольку dy = pdx, то получаем: Теперь можно проинтегрировать последнее выражение и найти x как функцию p. В итоге мы получаем следующее параметрическое представление решения дифференциального уравнения: где C − произвольная постоянная.

   Пример 3

Решить дифференциальное уравнение  2y = 2x² + 4xy' + (y')². Данное уравнение соответствует частному случаю 2. Пусть  y' = p, так что уравнение можно переписать в виде: Найдем дифференциалы обеих частей уравнения, учитывая, что dy = pdx. В результате получаем: Последнему уравнению удовлетворяют два решения. Первое решение имеет вид: Следовательно, Интегрируя это простое уравнение, получаем: где C − произвольная постоянная. Чтобы определить значение C, подставим полученный ответ в исходное дифференциальное уравнение: Видно, что постоянная C должна быть равна нулю, чтобы удовлетворить уравнению. Следовательно, первое решение выражается функцией Теперь рассмотрим второе решение, которое определяется дифференциальным уравнением Тогда В начале решения мы записали дифференциальное уравнение в форме Подставляем известное выражение для x (как функцию параметра p), чтобы найти зависимость y от p: Таким образом, второе решение описывается в параметрической форме следующей системой уравнений: где C − произвольная постоянная. Окончательный ответ выглядит так: