Формула Грина

Пусть в плоскости Oxy задана область R, ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой C. Предположим, что в некоторой области, содержащей R, задана непрерывная векторная функция с непрерывными частными производными первого порядка . Тогда справедлива формула Грина где символ указывает, что кривая (контур) C является замкнутой, и обход при интегрировании вдоль этой кривой производится против часовой стрелки.

Если , то формула Грина принимает вид где S − это площадь области R, ограниченной контуром C.

Формулу Грина можно записать также в векторной форме. Для этого введем понятия ротора векторного поля.

Пусть векторное поле описывается функцией Ротором или вихрем векторного поля называется вектор, обозначаемый или и равный Формула Грина в векторной форме записывается в виде Заметим, что формула Грина вытекает из "теоремы Стокса" при переходе от трехмерного случая к случаю двух координат.

   Пример 1

Используя формулу Грина, вычислить интеграл , где кривая C − окружность радиуса R. Запишем компоненты векторного поля: С помощью формулы Грина преобразуем криволинейный интеграл в двойной: Переходя к полярным координатам, находим искомый интеграл:

   Пример 2

Используя формулу Грина, найти интеграл , где кривая C представляет собой окружность, заданную уравнением . Сначала запишем компоненты векторного поля и определим частные производные: Следовательно, интеграл можно записать в следующем виде В последнем равенстве двойной интеграл численно равен площади круга , то есть . Тогда интеграл равен

   Пример 3

Используя формулу Грина, вычислить интеграл . Кривая C представляет собой окружность (рисунок 1), обход которой производится против часовой стрелки. Запишем компоненты векторного поля и их производные: Тогда где R − круг радиуса a с центром в начале координат. Переходя к полярным координатам, находим искомый интеграл:

   Пример 4

Используя формулу Грина, найти интеграл , где кривая C представляет собой эллипс (рисунок 2). Применим формулу Грина Очевидно, здесь Следовательно, Поскольку двойной интеграл численно равен площади эллипса , то интеграл равен

   Пример 5

С помощью формулы Грина вычислить интеграл , где контур C представляет собой треугольник ABD с вершинами A (a,0), B (a,a), D (0,a). (рисунок 3). В заданном криволинейном интеграле , так что Тогда по формуле Грина получаем Уравнение стороны AD имеет вид . Следовательно, полученный двойной интеграл вычисляется следующим образом

   Пример 6

С помощью формулы Грина найти интеграл . Контур C ограничивает сектор круга радиусом a, лежащий в первом квадранте (рисунок 4). В соответствии с формулой Грина находим Следовательно, Переходя к полярным координатам, вычисляем интеграл

   Пример 7

Вычислить интеграл с использованием формулы Грина. Контур интегрирования C представляет собой квадрат с вершинами в точках A (1,0), B (0,1), D (−1,0), E (0,−1) (рисунок 5). В соответствии с формулой Грина запишем Следовательно, Найдем уравнения сторон квадрата: Далее удобно ввести новые переменные. Пусть . Уравнения сторон квадрата записываются через новые переменные u и v в виде Как видно, образ S первоначальной области интегрирования R является "более симпатичным" квадратом (рисунок 6). Найдем якобиан для нашей замены переменных. Соответственно, абсолютное значение определителя обратной матрицы равно Тогда и интеграл имеет значение

   Пример 8

Вычислить интеграл с помощью формулы Грина. Контур интегрирования C представляет собой окружность (рисунок 7). Компоненты векторного поля и их частные производные равны Тогда по формуле Грина получаем Для вычисления двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам. Здесь Таким образом, интеграл равен

   Пример 9

Найти площадь области R, ограниченной астроидой . Вычислим площадь заданной области с использованием криволинейного интеграла по формуле . Запишем данную формулу в параметрическом виде: Подставляя сюда уравнения астроиды, получаем

   Пример 10

Проверить формулу Грина для векторного поля и области интегрирования R, имеющей форму круга радиусом 2 с центром в начале координат. Вычислим сначала криволинейный интеграл для данного векторного поля. Контуром интегрирования будет служить соответствующая окружность − граница области R. Используя параметрические уравнения окружности получаем Далее воспользуемся тригонометрической формулой Тогда криволинейный интеграл I₁ равен Теперь вычислим двойной интеграл: В полярных координатах он становится равным Как видно, I₁ = I₂.