Теорема Стокса

Пусть S является гладкой поверхностью, ограниченной гладкой кривой C. Тогда для любой непрерывно дифференцируемой векторной функции справедлива теорема Стокса: где − ротор векторного поля .

Символ показывает, что криволинейный интеграл вычисляется по замкнутой кривой.

Будем предполагать, что ориентация поверхности и направление обхода кривой соответствуют правилу правой руки. В этом случае при обходе кривой поверхность всегда остается слева, если голова направлена в ту же сторону, что и вектор нормали (рисунок 1).

Теорема Стокса связывает между собой криволинейные интегралы второго рода и поверхностные интегралы второго рода.

В координатной форме теорема Стокса может быть записана в следующем виде:

   Пример 1

Показать, что криволинейный интеграл равен 0 вдоль любого замкнутого контура C. Обозначим через S поверхность, ограниченную замкнутой кривой C. Применяя формулу Стокса, можно записать Тогда Следовательно, находим значение криволинейного интеграла: Утверждение доказано.

   Пример 2

Используя формулу Стокса, вычислить криволинейный интеграл , где кривая C образована пересечением сферы плоскостью . Обозначим через S круг, вырезаемый из заданной плоскости при пересечении со сферой. Определим координаты единичного вектора нормали к поверхности S: В нашем случае Следовательно, ротор вектора равен По теореме Стокса получаем Поскольку центр сферы находится в начале координат, а плоскость также проходит через начало координат, то сечением будет являться круг радиусом 1. Тогда интеграл имеет значение

   Пример 3

Используя теорему Стокса, найти криволинейный интеграл . Кривая C представляет собой пересечение цилиндра и плоскости . Обозначим через S часть плоскости, вырезаемую цилиндром. Пусть обход кривой C осуществляется против часовой стрелки, если смотреть из конечной точки вектора нормали , координаты которого равны Так как , то можно записать Далее, применяя формулу Стокса, находим Проекция поверхности S на плоскость xy представляет собой круг радиуса a. Поэтому, записывая уравнение плоскости в виде и используя формулу получаем

   Пример 4

Вычислить криволинейный интеграл , используя теорему Стокса. Кривая C имеет форму эллипса и определяется уравнениями (рисунок 2 выше). Пусть поверхность S − это часть плоскости z = 1, ограниченная эллипсом. Очевидно, единичный вектор нормали к данной поверхности будет . Поскольку то ротор поля равен В соответствии с теоремой Стокса получаем Двойной интеграл в последней формуле равен площади эллипса. Поэтому интеграл равен

   Пример 5

Используя теорему Стокса, вычислить криволинейный интеграл . Кривая C представляет собой треугольник с вершинами A(2,0,0), B(0,2,0), D(0,0,2) (рисунок 3). Пусть S будет плоскость треугольника ABD. Ориентация поверхности S и направление обхода контура C показаны ниже на рисунке 3.

Определим сначала нормальный вектор : Тогда и, следовательно, В нашем случае , и ротор равен Применяя формулу Стокса, находим Здесь двойной интеграл равен площади треугольника ABD, которая составляет Таким образом, интеграл имеет значение

   Пример 6

Найти интеграл с использованием теоремы Стокса. Кривая C образована пересечением параболоида с плоскостью . (рисунок 4). Пусть S будет часть плоскости, вырезанная параболоидом. Ориентация поверхности S и направление обхода контура C показаны на рисунке 4. Из уравнения плоскости найдем вектор нормали : Так как то ротор векторного поля равен По теореме Стокса находим Поскольку , то интеграл становится равным Чтобы завершить расчеты, нужно определить двойной интеграл , то есть найти площадь поверхности S.
Явное уравнение плоскости имеет вид . Поэтому, по формуле где D(x,y) − это проекция S на плоскость xy, получаем Определим область интегрирования D(x,y). Решая систему уравнений находим Как видно, область D(x,y) − это круг радиуса с центром в точке . Тогда площадь области D(x,y) равна Отсюда находим окончательное значение интеграла: