www.Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
   Определение и графики тригонометрических функций
Величины углов (аргументы функций): α, x
Тригонометрические функции: sin α, cos α, tan α, cot α, sec α, cosec α
Множество действительных чисел:
Координаты точки окружности: x, y
Радиус круга: r
Целые числа: k
  1. Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол. С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (ряда Фурье). Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.

  2. К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.

  3. Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга. На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом r = 1. На окружности обозначена точка M(x,y). Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси Ox равен α.

    единичный круг

  4. Синусом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к радиусу r:
    sin α = y/r.
    Поскольку r = 1, то синус равен ординате точки M(x,y).

  5. Косинусом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к радиусу r:
    cos α = x/r = x

  6. Тангенсом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к ee абсциссе x:
    tan α = y/x,   x ≠ 0

  7. Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к ее ординате y:
    cot α = x/y,   y ≠ 0

  8. Секанс угла α − это отношение радиуса r к абсциссе x точки M(x,y):
    sec α = r/x = 1/x,   x ≠ 0

  9. Косеканс угла α − это отношение радиуса r к ординате y точки M(x,y):
    cosec α = r/y = 1/y,   y ≠ 0

  10. В единичном круге проекции x, y точки M(x,y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x, y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом:
    Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
    Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
    Тангенсом угла α называется противолежащего катета к прилежащему.
    Котангенсом угла α называется прилежащего катета к противолежащему.
    Секанс угла α представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету.
    Косеканс угла α представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету.

  11. График функции синус
    y = sin x, область определения: x, область значений: −1 ≤ sin x ≤ 1

    график функции синус

  12. График функции косинус
    y = cos x, область определения: x, область значений: −1 ≤ cos x ≤ 1

    график функции косинус

  13. График функции тангенс
    y = tan x, область определения: x, x ≠ (2k + 1)π/2, область значений: −∞ < tan x < ∞

    график функции тангенс

  14. График функции котангенс
    y = cot x, область определения: x, xkπ, область значений: −∞ < cot x < ∞

    график функции котангенс

  15. График функции секанс
    y = sec x, область определения: x, x ≠ (2k + 1)π/2, область значений: sec x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, ∞)

    график функции секанс

  16. График функции косеканс
    y = cosec x, область определения: x, xkπ, область значений: cosec x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, ∞)

    график функции секанс


Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2014  
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.