|
|
|
Определение и графики тригонометрических функций
|
|
Величины углов (аргументы функций): α, x
Тригонометрические функции: sin α, cos α, tan α, cot α, sec α, cosec α
Множество действительных чисел: ℜ
Координаты точки окружности: x, y
|
Радиус круга: r
Целые числа: k
|
-
Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол. С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (ряда Фурье). Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.
-
К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.
-
Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга. На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом r = 1. На окружности обозначена точка M(x,y). Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси Ox равен α.
-
Синусом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к радиусу r:
sin α = y/r.
Поскольку r = 1, то синус равен ординате точки M(x,y).
-
Косинусом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к радиусу r:
cos α = x/r = x
-
Тангенсом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к ee абсциссе x:
tan α = y/x, x ≠ 0
-
Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к ее ординате y:
cot α = x/y, y ≠ 0
-
Секанс угла α − это отношение радиуса r к абсциссе x точки M(x,y):
sec α = r/x = 1/x, x ≠ 0
-
Косеканс угла α − это отношение радиуса r к ординате y точки M(x,y):
cosec α = r/y = 1/y, y ≠ 0
-
В единичном круге проекции x, y точки M(x,y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x, y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом:
Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом угла α называется противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом угла α называется прилежащего катета к противолежащему.
Секанс угла α представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету.
Косеканс угла α представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету.
-
График функции синус
y = sin x, область определения: x ∈ ℜ, область значений: −1 ≤ sin x ≤ 1
-
График функции косинус
y = cos x, область определения: x ∈ ℜ, область значений: −1 ≤ cos x ≤ 1
-
График функции тангенс
y = tan x, область определения: x ∈ ℜ, x ≠ (2k + 1)π/2, область значений: −∞ < tan x < ∞
-
График функции котангенс
y = cot x, область определения: x ∈ ℜ, x ≠ kπ, область значений: −∞ < cot x < ∞
-
График функции секанс
y = sec x, область определения: x ∈ ℜ, x ≠ (2k + 1)π/2, область значений: sec x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, ∞)
-
График функции косеканс
y = cosec x, область определения: x ∈ ℜ, x ≠ kπ, область значений: cosec x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, ∞)
|
|
|
|