Сходимость рядов Фурье

Говорят, что функция f (x), определенная в интервале [a,b], является кусочно непрерывной, если она непрерывна всюду в данном интервале, за исключением конечного числа точек разрыва (рисунок 1). Функция f (x), определенная в интервале [a,b], является кусочно гладкой, если сама функция и ее производная кусочно непрерывны в заданном интервале. Введем понятие частичной суммы ряда Фурье f_N (x) функции f (x), заданной в интервале [−π, π]. Она определяется выражением В комплексной форме частичная сумма f_N (x) функции f (x), заданной в интервале [−π, π] выражается формулой Функция называется ядром Дирихле. На рисунке 2 (выше) показан вид этой функции при n = 10.

Частичная сумма ряда Фурье выражается через ядро Дирихле следующим образом: В данной секции мы рассмотрим три типа сходимости рядов Фурье: сходимость в точке, равномерную сходимость и сходимость в пространстве L₂. Пусть f (x) является кусочно гладкой функцией в интервале [−π, π]. Тогда для любого где f (x₀ − 0) и f (x₀ + 0) представляют собой, соответственно, левосторонний и правосторонний пределы в точке x₀. Говорят, что последовательность частичных сумм ряда Фурье {f_N (x)} сходится равномерно к функции f (x), если скорость сходимости частичных сумм f_N (x) не зависит от x (рисунок 3). Будем говорить, что ряд Фурье функции f (x) сходится равномерно к этой функции, если Теорема. Ряд Фурье 2π-периодической непрерывной и кусочно гладкой функции сходится равномерно. Пространство L₂ (−π, π) образовано функциями, удовлетворяющими условию Будем говорить, что функция f (x) является квадратично интегрируемой, если она принадлежит классу L₂. Если f (x) квадратично интегрируема, то то есть частичные суммы f_N (x) сходятся к f (x) в смысле среднего квадратичного.

Из равномерной сходимости ряда Фурье следует как сходимость в точке, так и сходимость в пространстве L₂. Обратное утверждение неверно: сходимость в пространстве L₂ не означает, что ряд Фурье сходится в точке или равномерно, и, аналогично, из сходимости в точке не вытекает равномерная сходимость или сходимость в пространстве L₂. Если функция имеет разрыв второго рода в некоторой точке, то частичные суммы ряда Фурье будут осциллировать вблизи этой точки (смотрите рисунок 4 выше). Этот эффект называется феноменом или явлением Гиббса. В любой точке разрыва второго рода амплитуда выбросов примерно на 18% (при ) превышает амплитуду скачка функции в точке разрыва.

   Пример 1

Вычислить интеграл . Воспользуемся соотношением Ядро Дирихле D_N (x) является четной и 2π-периодической функцией. Поэтому можно записать Полагая , подставим данную функцию в последнюю формулу. Получим Сделаем теперь замену: z = x − y. Тогда y = x − z, dy = dz.
Найдем новые пределы интегрирования: если y = 0, то z = x, и, соответственно, z = x − π при y = π.
В результате получаем Вследствие периодичности D_N (x) можно записать Следовательно, Можно предложить и другой способ вычисления данного интеграла. Перепишем его в виде Поскольку то мы можем проинтегрировать этот ряд почленно. Тогда Здесь sin nz = 0 при z = 0, π. Таким образом,

   Пример 2

Пусть функция определена в интервале [0, 2π]. Найти разложение данной функции в ряд Фурье в указанном интервале и вывести формулу для приближенного вычисления числа π. Вычислим сначала коэффициенты Фурье. Для n ≥ 1: Таким образом, Фурье разложение имеет вид Полагая , получим знакопеременный ряд для : Отсюда найдем представление числа π в виде бесконечного ряда:

   Пример 3

Доказать, что ряд Фурье функции сходится равномерно к f (x) в интервале [−π, π]. Разложение функции в ряд Фурье в заданном интервале имеет вид: (Смотрите пример 4 в разделе Определение ряда Фурье и типичные примеры.)

Соответственно, частичные суммы определяются соотношением Тогда справедлива оценка Последняя сумма сходится к нулю при N → ∞. В самом деле, применяя интегральный признак сходимости, находим, что Таким образом, что подразумевает равномерную сходимость ряда Фурье для функции .

   Пример 4

Доказать, что ряд Фурье функции f (x) = x, заданный в интервале [−π, π], сходится в пространстве L₂. Разложение в ряд Фурье функции f (x) = x в интервале [−π, π] выражается формулой (Смотрите пример 3 на странице Определение ряда Фурье и типичные примеры.)

Тогда частичные суммы определяются выражением Вычислим предел где || f (x) || обозначает норму функции f (x) в пространстве L₂. Найдем норму || f (x) − f_N (x) ||: Используя неравенство треугольников || f + g || ≤ || f || + || g || для функций в пространстве L₂, можно записать Теперь находим значение предела: Таким образом, доказано, что в заданном интервале ряд Фурье функции сходится в смысле среднеквадратичного к самой функции.

   Пример 5

Известно, что ряд Фурье функции , заданной в интервале [0, 2π], выражается формулой (смотрите пример 2 выше). Исследовать поведение частичных сумм f_N (x). Частичные суммы данного ряда Фурье определяются выражением На рисунке 5 показано как частичные суммы при различных значениях N аппроксимируют заданную функцию. Видно, что выброс, обусловленный явлением Гиббса, происходит на все меньшем и меньшем интервале при увеличении N. Исследуем амплитуду этого выброса при N → ∞. Интегрируя почленно, частичные суммы можно записать в виде Далее, используя соотношение получаем Положим . Тогда Сделаем замену: . Здесь z = 0 при t = 0, и при . Следовательно, получаем Отсюда находим, что при N → ∞, поскольку Интеграл называется интегральным синусом и обозначается как Возвращаясь к началу решения, можно записать, что где .

Как видно, амплитуда выброса вследствие эффекта Гиббса составляет примерно 18%.