Кривизна и радиус кривизны

Рассмотрим плоскую кривую, заданную уравнением y = f(x). Пусть в точке M(x, y) проведена касательная к данной кривой, которая образует угол α с осью абсцисс (рисунок 1). При смещении вдоль дуги кривой Δs точка M переходит в точку M₁. При этом положение касательной также изменяется: угол наклона касательной к оси Ox в точке M₁ будет составлять α + Δα. Таким образом, при смещении точки кривой на расстояние Δs касательная поворачивается на угол Δα. (Будем считать, что угол α возрастает при вращении против часовой стрелки.)

Абсолютное значение отношения Δα/Δs называется средней кривизной дуги MM₁. В пределе, при Δs → 0, мы получаем кривизну кривой в точке M: Из приведенного определения следует, что кривизна в какой-либо точке кривой характеризует скорость вращения касательной в этой точке.

Для плоской кривой y = f(x) кривизна в точке M(x, y) выражается через первую и вторую производные функции f(x) по формуле Если кривая задана в параметрической форме уравнениями x = x(t), y = y(t), то ее кривизна в произвольной точке M(x, y) равна В случае, если кривая задана полярным уравнением r = r(θ), кривизна находится по формуле Радиусом кривизны кривой в точке M(x, y) называется величина, обратная кривизне K данной кривой в рассматриваемой точке: Следовательно, для плоских кривых, заданных явным уравнением y = f(x), радиус кривизны в точке M(x, y) будет определяться выражением

   Пример 1

Вычислить кривизну эллипса в его вершинах. Очевидно, достаточно найти кривизну эллипса в точках A(a, 0) и B(0, b) (рисунок 2), поскольку в силу симметрии кривой кривизна в двух противоположных вершинах эллипса будет такой же.

Для расчета кривизны удобно перейти от канонического уравнения эллипса к уравнению в параметрической форме: где t − параметр. В точке A(a, 0) параметр имеет значение t = 0, а в точке B(0, b) его значение равно t = π/2.

Находим первую и вторую производные: Кривизна параметрически заданной кривой выражается формулой Подставляя найденные выше производные, получаем: Теперь вычислим значения кривизны в вершинах A(a, 0) и B(0, b):

   Пример 2

Найти кривизну и радиус кривизны параболы y = x² в начале координат. Запишем производные квадратичной функции: Тогда кривизна параболы определяется следующей формулой: В начале координат (при x = 0) кривизна и радиус кривизны, соответственно, равны:

   Пример 3

Найти кривизну и радиус кривизны кривой  y = cos mx  в точке максимума. Данная функция достигает максимума в точках  x = 2πn/m,  n ∈ Z.  В силу периодичности кривизна во всех точках максимума одинакова, поэтому достаточно рассмотреть лишь точку x = 0.

Запишем производные: Кривизна данной линии определяется формулой В точке максимума, при x = 0, кривизна и радиус кривизны, соответственно равны:

   Пример 4

Вычислить кривизну и радиус кривизны графика функции  y = √x  при x = 1. Запишем производные от квадратного корня: Кривизна кривой определяется формулой В точке x = 1 получаем следующие значения кривизны и радиуса кривизны:

   Пример 5

Найти кривизну линии, заданной уравнением  y² + x³ = 0  в точке (−1, 1). Вычислим производную данной функции, дифференцируя ее неявно: Аналогично найдем вторую производную: В последней формуле подставим выражение для первой производной: Вычислим значения производных в точке (−1, 1): Тогда кривизна линии в точке (−1, 1) составляет:

   Пример 6

Найти кривизну кардиоиды  r = a(1 + cosθ)  в точке θ = 0. Для расчета кривизны кривой воспользуемся формулой Производные данной полярной кривой имеют вид: Подставляя это в формулу для кривизны, получаем: Следовательно, при θ = 0 кривизна кардиоиды равна

   Пример 7

Найти радиус кривизны циклоиды Радиус кривизны параметрически заданной кривой находится по формуле Вычислим входящие в это выражение производные: Подставляя найденные производные, получаем: Ограничиваясь первой аркой циклоиды, т.е. интервалом  0 ≤ t ≤ 2π,  получаем следующее выражение для радиуса кривизны циклоиды: Отсюда следует, что радиус кривизны максимален при t = π. В этой точке его значение составляет R_max = 4a.

   Пример 8

Определить кривизну кривой  y = arctan x  при x = 0 и на бесконечности. Запишем производные функции  y = arctan x: Тогда кривизна кривой арктангенса определяется выражением Как видно, в точке x = 0 кривизна кривой равна нулю: K(0) = K₀ = 0.

В данном случае точка x = 0 является точкой перегиба функции  y = arctan x. Поскольку в точке перегиба вторая производная равна нулю, то кривизна здесь также должна быть равна нулю, что и показывает полученное решение.

Вычислим значение кривизны K_∞ в пределе при x → ∞: Таким образом, на бесконечности кривизна кривой арктангенса также стремится к нулю. Отсюда следует, что существует некоторое промежуточное значение x, при котором кривизна кривой максимальна.

   Пример 9

Определить наименьший радиус кривизны экспоненциальной функции y = e^x. Экспоненциальная функция y = e^x − это единственная уникальная функция, у которой производные любого порядка равны самой функции. Поэтому для кривизны данной кривой можно сразу написать следующую формулу: Знак модуля в числителе опущен, поскольку экспоненциальная функция всегда положительна.

Радиус кривизны, соответственно, равен Величина R зависит от координаты x. Следовательно, рассматривая R как функцию от x, можно исследовать ее на экстремальное значение. Вычислим производную R'(x): Функция R(x) имеет лишь одну критическую точку: Слева от этого значения производная R'(x) отрицательна, а справа − положительна. Поэтому найденная точка является точкой минимума функции R(x). В этой точке радиус кривизны экспоненты является минимальным. Численно он равен:

   Пример 10

Найти наименьший радиус кривизны кубической параболы y = x³. Поскольку то радиус кривизны кубической функции определяется следующим выражением: Учитывая, что кубическая парабола симметрична относительно начала координат, далее будем рассматривать лишь участок кривой x > 0. Опуская знак модуля, запишем R как функцию x: Исследуем ее на экстремум. Находим производную R'(x): При x > 0 функция имеет лишь одну критическую точку. Вычисления приводят к следующему результату: При переходе через эту точку производная R'(x) меняет знак с минуса на плюс. Поэтому данная точка соответствует минимальному радиусу кривизны. Найдем его приближенное значение: