Некоторые случаи понижения порядка

Дифференциальное уравнение n-го порядка в общем случае имеет вид: где F − непрерывная функция указанных аргументов.

Порядок уравнения можно понизить, если оно не содержит некоторых аргументов или обладает определенной симметрией. Ниже мы рассмотрим подробнее некоторые случаи понижения порядка применительно к дифференциальным уравнениям произвольного n-го порядка. Преобразование уравнений 2-го порядка изложено здесь. Если дифференциальное уравнение не содержит исходной функции и ее k − 1 первых производных, то с помощью замены порядок такого уравнения понижается на k единиц. В результате исходное уравнение преобразуется к виду Из полученного уравнения (если это возможно) определяется функция p(x). Первоначальная функция y(x) находится последующим k-кратным интегрированием.

Если дифференциальное уравнение не содержит лишь исходную функцию y, т.е. имеет вид то его порядок можно понизить на единицу с помощью замены  y' = p(x). Здесь левая часть не содержит независимой переменной x. Порядок уравнения можно понизить с помощью замены  y' = p(y). Производные записываются через новые переменные y и p следующим образом: Видно, что при подстановке производных в исходное уравнение мы получим новое дифференциальное уравнение (n − 1)-го порядка. Решая это уравнение, можно определить функцию p(y) и затем найти y(x). Уравнение F(x, y, y', y'',...,y ⁽ⁿ⁾) = 0 называется однородным относительно аргументов y, y', y'',...,y ⁽ⁿ⁾, если выполняется тождество Порядок такого уравнения можно понизить на единицу с помощью подстановки где z(x) − новая неизвестная функция.

После определения z(x) исходная функция y(x) находится интегрированием по формуле где C₁ − произвольное число. В некоторых случаях левую часть F(x, y, y', y'',...,y ⁽ⁿ⁾) дифференциального уравнения можно представить как полную производную по x от дифференциального выражения (n − 1)-го порядка: Тогда решение исходного уравнения записывается в виде где C − произвольная постоянная.

Рассмотрим примеры на различные случаи понижения порядка.

   Пример 1

Найти общее решение дифференциального уравнения .
Данное уравнение не содержит функцию y и ее первую производную y'. Поэтому сделаем замену Получаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: Интегрируя, находим решение: Возвращаясь к исходной переменной y, получаем еще одно дифференциальное уравнение: Дважды интегрируя, находим общее решение исходного уравнения:

   Пример 2

Найти общее решение уравнения  5(y''')² - 3y'' y ^IV = 0.
Сделаем следующую замену: Получаем уравнение второго порядка: Поскольку это уравнение не содержит независимой переменной x, то полагаем p' = z(p). Следовательно Тогда уравнение записывается как Одно из решений этого уравнения имеет вид: Видно, что это решение описывает множество всех парабол с произвольными коэффициентами C₁, C₂, C₃.

Найдем второе решение дифференциального уравнения. Полученное уравнение первого порядка легко проинтегрировать: Переобозначая постоянные C₄, C₅, решение можно записать в виде Итак, для определения второго решения мы имеем следующее уравнение: Дважды интегрируя, находим: Таким образом, общее решение исходного уравнения содержит два семейства функций: где C₁, C₂,..., C₇ − произвольные числа.

   Пример 3

Найти общее решение уравнения  y' y''' + (y'')² = 0.
Левую часть данного уравнения можно представить в виде полной производной, разделив уравнение на y' y'': Интегрируя, получаем уравнение второго порядка: В последнем уравнении сделаем замену: Следовательно, Это уравнение легко интегрируется: В последнем выражении мы переобозначили постоянные C₁, C₂, чтобы упростить уравнение.

В результате получаем следующее выражение: Интегрируя, находим функцию y(x): Поскольку числа C₁ и C₂ произвольные, мы здесь опустили множитель 2/3, появляющийся при интегрировании квадратного корня.

В начале решения при делении уравнения на y'' было пропущено решение y'' = 0. Отсюда следует, что где C₄, C₅ − произвольные числа.

Итак, окончательный ответ содержит две ветви решений:

   Пример 4

Найти общее решение дифференциального уравнения  y y''' − y' y'' = 0.
Видно, что это уравнение является однородным. Следовательно, его порядок можно понизить на единицу, используя подстановку Найдем производные: После подстановки получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка: Порядок нового уравнения можно снова понизить с помощью подстановки Тогда В результате получаем уравнение первого порядка для функции p(z): Данное уравнение имеет два решения.

1) Первое решение определяется уравнением Отсюда находим функцию y(x): Постоянную C₂ здесь можно переобозначить: C₂ exp C₃ = C₂. Тогда первое семейство решений имеет вид: 2) Второе решение описывается простым уравнением с разделяющимися переменными: Учитывая, что p = z', находим функцию z(x): Для простоты записи мы снова заменим постоянную √C₃  на C₃. Таким образом, получаем: Из последнего уравнения найдем явное выражение для z(x): Теперь определим функцию y(x) по формуле Сначала вычислим интеграл : Введем новую переменную t = exp(2C₃x + C₄). Тогда Следовательно, интеграл равен Представим подынтегральное выражение как сумму двух дробей: Итак, получаем: Вычисляем интеграл: где переобозначено

Для функции y(x) получаем следующее выражение: В последнем выражении мы снова переобозначили произвольные постоянные C₄, C₅.

Таким образом, второе решение исходного уравнения записывается в виде Итак, общее решение дифференциального уравнения содержит две ветви: Видно, что второе решение включает в себя первое. Поэтому, оконательный ответ имеет вид: где C₃, C₄, C₅ − произвольные числа.