Использование дифференциалов в приближенных вычислениях

Если функция y = f(x) является дифференцируемой в точке x₀, то при изменении аргумента на Δx ее приращение в этой точке выражается формулой где первое слагаемое AΔx представляет собой дифференциал функции, а второе слагаемое является величиной более высокого порядка малости по отношению к Δx. Дифференциал функции обозначается символом dy и связан с производной в точке x₀ соотношением Таким образом, приращение функции Δy можно записать как При достаточно малых приращениях аргумента Δx можно пренебречь "нелинейной" добавкой ο(Δx). В таком случае справедливо приближенное равенство Заметим, что абсолютная погрешность данного приближения, то есть разность Δy − dy стремится к нулю при Δx → 0: Более того, относительная погрешность также стремится к нулю при Δx → 0: поскольку ο(Δx) соответствует члену второго и более высокого порядка малости по отношению к Δx.

Таким образом, для приближенных расчетов можно использовать следующую формулу: где Δx = x − x₀  и Δy = f(x) − f(x₀). 

   Пример 1

Найти приближенное значение . По условию x = 30. Выберем начальную точку x₀ = 27. Тогда Δx = x − x₀ = 30 − 27 = 3. Производная функции равна а ее значение в точке x₀ составляет: В результате получаем следующий ответ:

   Пример 2

Вычислить приближенное значение √50. Рассмотрим функцию  f(x) = √x. В нашем случае требуется найти значение этой функции при x = 50. Выберем x₀ = 49 и найдем значение производной в этой точке: Используя формулу получаем

   Пример 3

Вычислить приближенное значение . Здесь в качестве x₀ удобно взять значение x₀ = 0,0256, поскольку Найдем производную данной функции и ее значение в точке x₀: Отсюда получаем приближенное значение функции:

   Пример 4

Вычислить (8,2)^2/3. Здесь, очевидно,  f(x) = x^2/3 и  x = 8,2. Пусть x₀ = 8. Тогда Найдем производную: В результате получаем:

   Пример 5

Вывести приближенную формулу (1 + α)ⁿ ≈ 1 + nα. Вычислить приближенное значение √1,02. Рассмотрим функцию  f(x) = xⁿ. При изменении аргумента на Δx приращение функции составляет Если Δx является малой величиной, то можно приближенно считать, что Следовательно, Пусть далее x = 1 и Δx = α. Тогда В частности,

   Пример 6

Вывести приближенную формулу С помощью данной формулы вычислить приближенно √150. Рассмотрим функцию y = √x. При изменении независимой переменной на Δx приращение функции выражается формулой Данное приращение при малых Δx можно приближенно заменить дифференциалом, так что Таким образом, Обозначим x = a², Δx = h. Тогда получаем следующее приближенное равенство: Оценим с помощью этой формулы значение √150: Точное значение (с точностью до 3 цифр после запятой) составляет 12,247. Как видно, относительная ошибка при использовании приближенной формулы составляет

   Пример 7

Вывести приближенную формулу Используя данную формулу, вычислить . Пусть . Если переменная x получаем приращение Δx, то приращение функции имеет вид: Считая Δx малой величиной, заменим приращение функции Δy ее дифференциалом: Тогда Обозначив x = aⁿ, Δx = h, получаем следующее соотношение: С помощью этой формулы находим:

   Пример 8

Найти приближенное значение cos 46°. Выберем x₀ = 45°. Производная косинуса в этой точке равна Выразим приращение аргумента Δx в радианной мере: Используя формулу для приближенного вычисления функции при малых Δx находим:

   Пример 9

Найти приближенное значение sin 179°. Пусть x = 179°, x₀ = 180°. Следовательно, Δx = x − x₀ = 179° − 180° = −1° = − π/180 радиан. Вычислим значение функции и ее производной в точке x₀: Заменяя приращение функции ее дифференциалом, получаем:

   Пример 10

Найти приближенное значение ln 20. Рассмотрим функцию натурального логарифма y = ln x. Учитывая, что удобно выбрать точку x₀, равную Вычислим производную и ее значение в точке x₀: Следовательно, приближенное значение ln 20 равно:

   Пример 11

Вычислить e^0,1. Пусть  f(x) = e ^x. Полагая x₀ = 0, получаем: Для вычисления e^0,1 используем приближенную формулу Тогда

   Пример 12

Найти приближенное значение  arccos 0,51. Полагаем  f(x) = arccos x и x₀ = 0,5. Заменяя приращение функции Δy ее дифференциалом, вычисляем приближенное значение  arccos 0,51:

   Пример 13

Найти приближенное значение  arctan 0,95. Пусть  f(x) = arctan x, x₀ = 1. Определим значение производной в точке x₀: Для приближенного расчета используем формулу Следовательно,

   Пример 14

Найти приближенное значение функции при x = 1,02. Выберем точку x₀ = 1. Тогда Найдем значение производной заданной функции в точке x₀: Следовательно, приближенное значение функции в точке x = 1,02 равно

   Пример 15

Найти приближенное значение функции  f(x) = √5x − 1 при x = 1,99. Пусть x₀ = 2. Следовательно, Производная при x₀ = 2 имеет следующее значение: Оценивая приближенное значение функции при x = 1,99 с помощью дифференциала, имеем: