Дифференциал функции

Рассмотрим функцию y = f(x), которая является непрерывной в интервале [a, b]. Предположим, что в некоторой точке x₀∈ [a, b] независимая переменная получает приращение Δx. Приращение функции Δy, соответствующее такому изменению аргумента Δx, выражается формулой Для любой дифференцируемой функции приращение Δy можно представить в виде суммы двух слагаемых: где первый член (т.н. главная часть приращения) линейно зависит от приращения Δx, а второй член имеет более высокий порядок малости относительно Δx. Выражение AΔx называется дифференциалом функции и обозначается символом dy или df(x₀). Рассмотрим эту идею разбиения приращения функции Δy на две части на простом примере. Пусть задан квадрат со стороной x₀ = 1 м (рисунок 1). Его площадь, очевидно, равна Если сторону квадрата увеличить на Δx = 1 см, то точное значение площади увеличенного квадрата будет составлять т.е. приращение площади ΔS равно Представим теперь это приращение ΔS в таком виде: Итак, приращение функции ΔS состоит из главной части (дифференциала функции), которая пропорциональна Δx и равна и члена более высокого порядка малости, в свою очередь, равного В сумме оба этих члена составляют полное приращение площади квадрата, равное 200 + 1 = 201 (см²).

Заметим, что в данном примере коэффициент A равен значению производной функции S в точке x₀: Оказывается, что для любой дифференцируемой функции справедлива следующая теорема:

Коэффициент A главной части приращения функции в точке x₀ равен значению производной f'(x₀) в этой точке, т.е. приращение Δy выражается формулой Разделив обе части этого равенства на Δx ≠ 0, имеем В пределе при Δx → 0 получаем значение производной в точке x₀: Здесь мы учли, что для малой величины o(Δx) более высокого порядка малости, чем Δx, предел равен Если считать, что дифференциал независимой переменной dx равен ее приращению Δx: то из соотношения следует, что т.е. производную функции можно представить как отношение двух дифференциалов. На рисунке 2 схематически показана разбивка приращения функции Δy на главную часть AΔx (дифференциал функции) и член высшего порядка малости o(Δx).

Касательная MN, проведенная к кривой функции y = f(x) в точке M, как известно, имеет угол наклона α, тангенс которого равен производной: При изменении аргумента на Δx касательная получает приращение AΔx. Это линейное приращение, образованное касательной, как раз и является дифференциалом функции. Остальная часть полного приращения Δy (отрезок NM₁) соответствует "нелинейной" добавке с более высоким порядком малости относительно Δx. Пусть u и v − функции переменной x. Дифференциал обладает следующими свойствами:

1. Постоянный коэффициент можно выносить за знак дифференциала:
   d(Cu) = Cdu, где C − постоянное число.
2. Дифференциал суммы (разности) функций:
   d(u ± v) = du ± dv.
3. Дифференциал постоянной величины равен нулю:
   d(С) = 0.
4. Дифференциал независимой переменной x равен ее приращению:
   dx = Δx.
5. Дифференциал линейной функции равен ее приращению:
   d(ax + b) = Δ(ax + b) = aΔx.
6. Дифференциал произведения двух функций:
   d(uv) = du⋅v + u⋅dv.
7. Дифференциал частного двух функций:
   
8. Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента:
   dy = df(x) = f '(x)dx.

Как видно, дифференциал функции dy отличается от производной лишь множителем dx. Например, и так далее. Рассмотрим композицию двух функций y = f(u) и u = g(x), т.е. сложную функцию y = f(g(x)). Ее производная определяется выражением где нижний индекс обозначает переменную, по которой производится дифференцирование.

Дифференциал "внешней" функции y = f(u) записывается в виде Дифференциал "внутренней" функции u = g(x) можно представить аналогичным образом: Если подставить du в предыдущую формулу, то получим Поскольку  y'_x = y'_u ⋅ u'_x, то Видно, что в случае сложной функции мы получили такое же по форме выражение для дифференциала функции, как и в случае "простой" функции. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала.

   Пример 1

Найти дифференциал функции  y = sin x − x cos x. Найдем производную заданной функции: Дифференциал имеет следующий вид:

   Пример 2

Найти дифференциал функции в точке x = 1. Находим производную и вычисляем ее значение в заданной точке: Тогда

   Пример 3

Найти дифференциал функции y = 2x² + 3x + 1 в точке x = 1 при dx = 0.1 Подставляя заданные значения, вычисляем дифференциал:

   Пример 4

Вычислить приращение и дифференциал функции y = x² − x + 1 в точке x = 2 при Δx = 1. Определим приращение функции по формуле Поскольку здесь x + Δx = 2 + 1 = 3, то получаем Дифференциал (или линейная часть приращения) при этом составляет:

   Пример 5

Найти дифференциал функции  y = x^xe^2x  в точке x = 1. Производная функции x^x равна Следовательно, производная исходной функции имеет вид: При x = 1, соответственно, получаем: Тогда дифференциал функции в данной точке записывается как

   Пример 6

Найти дифференциал функции в точке x = 1/2 при dx = 0,01. Подставляем значения x и dx и вычисляем дифференциал dy:

   Пример 7

Вычислить приращение и дифференциал функции в точке x = 0 при Δx = 0,1. Найдем сначала приращение функции: При тех же значениях x и Δx дифференциал функции равен

   Пример 8

Найти дифференциал функции , где u и v − дифференцируемые функции переменной x. Используя правила дифференцирования, получаем:

   Пример 9

Найти дифференциал функции , где u и v − дифференцируемые функции от x. где v² > u²,  v ≠ 0.

   Пример 10

Функция y(x) задана неявным уравнением  y³ − 3xy + x³ = 3. Найти ее дифференциал в точке (2, 1). Определим производную неявной функции. Дифференцируя обе части по x, получаем: В точке (2, 1) производная y' имеет значение Соответственно, дифференциал в этой точке записывается как

   Пример 11

Функция y(x) задана неявным уравнением  x² − √y ln y = 1.  Найти ее дифференциал в точке (1, 1). Дифференцируем обе части уравнения по x и находим производную y': Вычислим значение производной в заданной точке (1, 1): Дифференциал функции в этой точке равен

   Пример 12

Найти дифференциал функции . Поскольку дифференциал функции выражается формулой то для его нахождения достаточно вычислить производную y'(x). Дифференцируя как сложную функцию, получаем: где  −1 < x < 1. Соответственно, дифференциал функции записывается в виде

   Пример 13

Функция y(x) задана параметрическими уравнениями Найти дифференциал функции в точке (3, −1). Из уравнения  3 = t² + t +1  определяем соответствующее значение параметра t: Проверим, что условию y = −1 удовлетворяет значение t = 1.

Найдем производную y'_x параметрически заданной функции: При t = 1 производная имеет следующее значение: Таким образом, дифференциал функции в точке (3, −1) выражается формулой

   Пример 14

Функция y(x) задана параметрическими уравнениями Найти дифференциал функции в точке (2, e). Сначала определим значение параметра t, которое соответствует точке (2, e). Из второго уравнения находим: Проверим значение x при t = 0: Найдем производную параметрически заданной функции: При t = 0 производная, соответственно, равна Следовательно, дифференциал функции в точке (2, e) имеет вид:

   Пример 15

Дана сложная функция y = ln u, u = cos x. Выразить дифференциал функции y в инвариантной форме. Запишем дифференциал "внешней" функции: Аналогично найдем дифференциал "внутренней" функции: Подставляя выражение для du в предыдущую формулу, получим дифференциал dy в инвариантной форме: