Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье

Теория рядов Фурье первоначально была создана для решения дифференциальных уравнений. Поэтому, неудивительно, что ряды Фурье широко используются для поиска решений как обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений в частных производных.

В настоящем разделе мы расмотрим приложение рядов Фурье к решению некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений, а также к решению трех наиболее популярных типов уравнений математической физики:

   Пример 1

Найти решение в виде ряда Фурье дифференциального уравнения с граничными условиями . Мы будем использовать разложение по нечетным гармоникам для построения неоднородного решения уравнения с заданными граничными условиями. Опираясь на результаты примера 3 раздела Определение ряда Фурье и типичные примеры, можно записать правую часть уравнения в виде ряда Предположим, что решение уравнения имеет вид Подставляя это в само уравнение, получаем соотношение Поскольку коэффициенты при каждой гармонике в левой и правой части должны быть равны друг другу, получаем алгебраическое уравнение Следовательно, решение исходного дифференциального уравнения описывается рядом

   Пример 2

Найти периодические решения дифференциального уравнения , где k − константа, а f (x) − периодическая функция. Представим функцию f (x) в правой части уравнения в виде ряда Фурье: Здесь комплексные коэффициенты Фурье определяются формулой Предполагая, что решение уравнения представляется рядом Фурье найдем выражение для производной: Подставляя это в исходное дифференциальное уравнение, получаем Поскольку данное равенство справедливо при всех значениях n, то получаем следующее соотношение: Здесь c_n и k − известные числа. Следовательно, решение выражается формулой

   Пример 3

Используя разложение в ряд Фурье, решить одномерное уравнение теплопроводности с граничными условиями Дирихле: Т = Т₁ при x = 0, и Т = Т₂ при x = L. Начальное распределение температуры задано функцией . Сначала мы определим стационарное распределение температуры при заданных граничных условиях.
Рассмотрим уравнение . Интегрируя его, найдем общее решение: Коэффициенты C₁ и C₂ найдем из граничных условий: Т₀ (0) = Т₁, Т₀ (L) = Т₂. В результате получаем Построим теперь решение задачи, зависящее от времени.
Введем новую переменную Граничные условия для y (x,t) принимают вид: а начальное распределение записывается в форме Принимая во внимание новые граничные условия, будет естественным искать решение в виде разложения по нечетным гармоникам. Тогда где коэффициенты b_n находятся по формуле (Мы предполагаем, что эти коэффициенты известны.)

Общее решение будем искать в виде ряда с коэффициентами c_n (t), зависящими от времени: Очевидно, что граничные условия y (0,t) = 0 и y (L,t) = 0 выполняются при любых значениях времени t > 0.
Начальные условия для c_n (t) имеют вид Подставим эти выражения в уравнение теплопроводности . Тогда Умножим обе части последнего выражения на и проинтегрируем на интервале [0, L], используя соотношения ортогональности В результате получаем или Решая полученное обыкновенное дифференциальное уравнение, находим c_n (t): где − постоянная, зависящая от начальных условий.
Учитывая, что c_n (0) = b_n, получаем решение для c_n (t) в форме Следовательно, окончательное решение уравнения теплопроводности выражается формулой

   Пример 4

Найти решение волнового уравнения для струны с закрепленными концами с граничными условиями u (0,t) = u (L,t) = 0. Начальное смещение и скорость заданы в виде где f (x) и g (x) − некоторые функции, которые считаются известными в данной задаче. При этом должны быть выполнены соотношения Будем искать все периодические решения задачи, в которых разделяются переменные x и t, т.е. в форме Тогда Подставляя это в волновое уравнение, получаем В последней записи функция в левой части зависит только от x, а функция в правой части − только от t. Это возможно, если только обе части уравнения равны некоторой константе. Следовательно, Если константа α положительная, то полагая , получим уравнение с общим решением Такое решение не содержит периодических функций по t. Поэтому рассмотрим вариант, когда константа α отрицательна: . В этом случае волновое уравнение расщепляется на два обыкновенных дифференциальных уравнения: Решая первое уравнение, находим где C₁ и C₂ − постоянные интегрирования.
Учитывая граничные условия, получаем Тогда Полагая C₂ ≠ 0 (в противном случае мы бы получили тривиальное решение X ≡ 0), находим, что (n − целое число).

Следовательно, так называемые собственные значения равны Соответствующие им собственные функции записываются в виде При λ = λ_n второе уравнение имеет решение Таким образом, можно записать, что Здесь n − целое число, а A_n и B_n − постоянные, зависящие от начальных условий.

Теперь мы можем построить общее решение волнового уравнения как линейную комбинацию частных решений: Предполагая, что этот ряд дифференцируемый, запишем выражение для производной: Теперь из начальных условий определим постоянные A_n и B_n: Видно, что функции f (x) и f (x) следует разложить по ортогональной системе . По формулам для коэффициентов Фурье получаем Таким образом, решение волнового уравнения с заданными граничными и начальными условиями имеет вид где коэффициенты A_n и B_n определяются приведенными выше формулами.

Первый член ряда u₁(x,t) называется основной частотой, остальные члены u_n(x,t) − обертонами или гармониками. Период и частота гармоники определяются формулами

   Пример 5

Найти решение уравнения Лапласа в круге c граничным условием Будем искать решение в полярных координатах (r,φ). Взаимосвязь между декартовыми и полярными координатами определяется стандартными формулами (рисунок 1): Решением задачи будет функция u(r,φ), зависящая от переменных r и φ. Очевидно, u(r,φ) является 2π-периодической функцией по φ. При этом граничная функция f (x,y) преобразуется в функцию f (φ), зависящую только от переменной φ.

Уравнение Лапласа в полярных координатах записывается в виде Будем искать решение u(r,φ) в виде ряда Фурье где коэффициенты Фурье a_n (r) и b_n (r) зависят от радиуса r.

Предполагая, что функция u(r,φ) является достаточно гладкой и допускает двойное дифференцирование по r и φ, получаем следующие выражения для производных: Подставляя это в уравнение Лапласа, находим Поскольку это выражение равно нулю при всех r и φ, то приходим к выводу, что Таким образом, мы получили систему обыкновенных дифференциальных уравнений вместо исходного уравнения в частных производных (этот метод был предложен Жозефом Фурье в 1822). Важно, что каждое уравнение в системе решается независимо.

Убедимся, что полученным уравнениям удовлетворяют функции вида Здесь постоянные a_n (1) и b_n (1) находятся из начальных условий к полученным обыкновенным дифференциальным уравнениям. Чтобы сформулировать эти начальные условия, разложим в ряд Фурье функцию , определяющую граничные условия для уравнения Лапласа в полярных координатах. В результате находим Приравнивая коэффициенты слева и справа при членах cos nφ и sin nφ, получаем соотношения Следовательно, система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет решение Тогда решение уравнения Лапласа записывается в виде где α_n, β_n − известные числа, зависящие от граничных условий.

Полученный ответ можно упростить. Подставим явные выражения для коэффициентов α_n, β_n: Заметим, что Поэтому Используя формулу , можно показать, что выражение в квадратных скобках равно сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии: Тогда решение будет определяться формулой Полученное выражение называется интегралом Пуассона для единичного круга.