Моделирование рекламной кампании

Дифференциальные уравнения широко используются для описания различных динамических процессов в экономике, логистике и маркетинге. Ниже мы рассмотрим как с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений можно смоделировать рекламную кампанию.

Представим, что некоторая компания разработала новый продукт или сервис. Маркетинговая стратегия компании предполагает агрессивное рекламирование. Чтобы перейти к простой математической модели, введем две переменных:

• Величина q(t) представляет собой рекламную активность, которая описывается темпом расхода рекламного бюджета, например, суммой в рублях (или в любой другой валюте), которую компания тратит на рекламу за неделю;
• Величина A(t) описывает осведомленность целевой группы потенциальных покупателей нового товара или услуги.

Таким образом, мы рассматриваем рыночную нишу как черный ящик (рисунок 1). Рекламная активность q(t) здесь играет роль входного параметра, а осведомленность потребителей A(t) является выходной переменной - она измеряет отклик системы на воздействие рекламы. Простая модель такого типа была предложена в 1962 году. Она называется моделью Нерлова-Эрроу (кратко N-A модель). Данная модель связывает между собой две введенные переменные: рекламную активность q(t) и осведомленность потребителей A(t) и описывается следующим дифференциальным уравнением: где b − некоторая постоянная, описываюшая эффективность рекламы, k − константа, соответствующая скорости "забывания".

Данное уравнение содержит два члена в правой части. Первое слагаемое bq(t) обеспечивает линейный рост осведомленности потребителей в результате воздействия рекламы. Второй член  −kA описывает противоположный процесс − забывание о рекламируемом продукте.
Мы можем принять в первом приближении, что скорость забывания пропорциональна текущему уровню осведомленности A.

Полученное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Его удобнее записать в стандартной форме: Интегрирующий множитель представляет собой экспоненциальную функцию: Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения выражается формулой Постоянную интегрирования C, как обычно, определяется из начального условия A(t₀) = A₀.

В приведенных ниже примерах мы исследуем как осведомленность потребителей A(t) зависит от режима рекламирования.

   Пример 1

Менеджмент компании принял решение о постоянном рекламировании нового продукта в течение года. Рекламный бюджет составляет $12,000. Коэффициенты k и b равны: k = 1/4, b = 25. Записать и решить дифференциальное уравнение, описывающее количество людей A(t), ознакомившихся с данным продуктом. Уравнение динамики A(t) записывается в виде: Будем считать, что время t измеряется в месяцах. По условию задачи, расходы на рекламу постоянны в течение всего года. Тогда ежемесячные рекламные расходы составляют: Подставляя известные значения, получаем следующее дифференциальное уравнение: В данном случае интегрирующий множитель имеет вид: Следовательно, общее решение уравнения записывается в виде: Константу C определим из начального условия A(t = 0) = 0. Следовательно, C = −100000. В результате частное решение выражается формулой График этой функции показан выше на рисунке 2, Таким образом, в случае постоянной рекламы число потенциальных покупателей растет нелинейно, приближаясь к максимальному значению

   Пример 2

Используя условия предыдущей задачи 1, выяснить как изменится число потенциальных покупателей к концу года, если весь рекламный бюджет израсходовать равномерно в течение первых 6 месяцев? В данном случае режим рекламирования имеет ступенчатый характер. Схематически расходы на рекламы показаны ниже на рисунке 3. Исследуем как изменится осведомленность потребителей A(t) по сравнению со случаем, рассмотренным в задаче 1, когда рекламные расходы одинаковы в течение всего года.

Задача разбивается на две стадии. К концу 6-го месяца величина A легко вычисляется по формуле выведенной в примере 1. Коэффициенты будут иметь следующие значения: k = 1/4, b = 25, q₀ = 2000. Тогда В момент t = 6 количество покупателей, ознакомленных с продуктом, составляет: Во второй фазе − с 7-го по 12-й месяц включительно − реклама полностью отсутствует. В результате уровень осведомленности A(t) будет уменьшаться в соответствии с уравнением: Решение однородного уравнения определяется экспоненциальной функцией: где t > 6 месяцев. Константа C находится из начального условия для второй фазы: Таким образом, закон изменения A(t) во втором полугодии имеет вид: Итак, полное решение задачи записывается в виде: График функции A(t) представлен на рисунке 4. На рисунке для сравнения показана также кривая A(t) из предыдущей задачи. Видно, что во втором случае осведомленность покупателей к концу года будет ниже, чем в режиме постоянного однородного рекламирования. Точные значения A для обоих случаев равны Интересно, что среднее значение A в течение года больше во втором случае: Можно грубо предположить, что объем продаж пропорционален осведомленности покупателей о новом продукте, так что режим ступенчатого рекламирования (при одинаковом рекламном бюджете!) является более выгодным с этой точки зрения.

   Пример 3

Исследовать динамику осведомленности A(t) для случая линейно изменяющейся рекламной активности q(t). Использовать те же данные, что и в примерах 1,2. В данной задаче мы еще несколько усложним нашу маркетинговую модель. Будем предполагать, что рекламный бюджет расходуется в течение года по линейному закону: Функция q(t) может быть как возрастающей, так и убывающей (рисунок 5). В любом случае, общий годовой рекламный бюджет остается неизменным (Пусть он будет равен U). Графически это означает, что площади всех трапеций (или треугольников в предельном случае), показанных на рисунке 6, равны.

Ясно, что параметры q₀ и α будут связаны следующим соотношением: Левая часть этой формулы соответствует площади трапеции. Поэтому коэффициент α выражается через q₀ следующим образом: Зависимость рекламных расходов от времени будет описываться формулой: Подставим последнее выражение в формулу общего решения A(t) и затем проинтегрируем: Интеграл в числителе можно найти, интегрируя по частям. Полагаем: Следовательно, В результате мы получаем следующее выражение для A(t): Константу C определим из начального условия  A(t = 0) = 0: Подставляя C в формулу для A(t), находим: Наконец, подставим известные величины: k = 1/4, b = 25, U = 12,000: Если положить q₀ = 1000 (режим постоянного однородного рекламирования, рассмотренный в примере 1), то мы получим уже найденную выше формулу: Используя общее решение A(t), сравним динамику осведомленности для следующих предельных случаев: (смотрите рисунок 6 выше).

1. Сценарий 1: Рекламные расходы линейно возрастают от 0 до 2000;
2. Сценарий 2: Рекламные расходы линейно уменьшаются от 2000 до 0;
3. Сценарий 3: Рекламные расходы постоянны в течение года.

Результаты расчетов представлены на рисунке 7. Средние значения A(t) в течение года для указанных сценариев приведены в таблице (рисунок 8). Как видно, наиболее агрессивный сценарий 2 может привести к росту продаж, хотя сценарий 1 имеет преимущество благодаря долговременному эффекту. Конечно, эти выводы ограничены точностью модели. Динамика A(t) в реальном бизнесе может иметь более сложный характер.