Смешанным произведением трех векторов u, v и w называется скалярное произведение вектора u на векторное произведение векторов v и w:

Перестановочные свойства смешанного произведения

Умножение смешанного произведения векторов на число

Смешанное произведение в координатной форме

Объем параллелепипеда, построенного на трех векторах u, v, w, равен модулю смешанного произведения этих векторов:

Объем пирамиды, построенной на трех векторах u, v, w, выражается формулой

Если смешанное произведение векторов u, v и w равно нулю, то данные векторы являются линейно зависимыми (компланарными), то есть один из этих векторов можно выразить через два других:

где λ, μ − некоторые действительные числа.

Если смешанное произведение векторов u, v и w не равно нулю, то данные векторы являются линейно независимыми.

Двойным векторным произведением трех векторов u, v и w называется векторное произведение