Поверхностные интегралы второго рода

Рассмотрим векторное поле и поверхность S, которая описывается вектором Предполагается, что функции x(u,v), y(u,v), z(u,v) являются непрерывно дифференцируемыми в некоторой области D(u,v), и что ранг матрицы равен 2.

Обозначим через единичный нормальный вектор к поверхности S в точке (x,y,z). Если поверхность S гладкая и векторная функция непрерывна, то в каждой точке поверхности существуют два противоположно направленных единичных нормальных вектора: Выбор одного из них называется ориентацией поверхности.

Если S является границей ограниченной области, то ее можно ориентировать внешней или внутренней нормалями. Поверхность S, ориентированную внешней нормалью, называют ее внешней стороной, а ориентированную внутренней нормалью, − ее внутренней стороной.

Поверхностный интеграл второго рода от векторного поля по ориентированной поверхности S (или поток векторного поля через поверхность S) может быть записан в одной из следующих форм:

• Если поверхность S ориентирована внешней нормалью, то
  
• Если поверхность S ориентирована внутренней нормалью, то
  

Величина называется векторным элементом поверхности. Точка обозначает скалярное произведение соответствующих векторов. Частные производные, входящие в последние формулы, вычисляются следующим образом: Если поверхность S задана явно в виде уравнения z = z(x,y), где z(x,y) − дифференцируемая функция в области D(x,y), то поверхностный интеграл второго рода от векторного поля по поверхности S записывается в одной из следующих форм:

• Если поверхность S ориентирована внешней нормалью (k-компонент вектора нормали является положительным), то
  
• Если поверхность S ориентирована внутренней нормалью (k-компонент вектора нормали является отрицательным), то
  

Поверхностный интеграл второго рода можно записать также в координатной форме. Пусть P (x,y,z), Q (x,y,z), R (x,y,z) являются компонентами векторного поля . Введем cos α, cos β, cos γ − направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S. Тогда скалярное произведение равно Следовательно, поверхностный интеграл можно записать в виде Поскольку (рисунок 1), и, аналогично, , получаем следующую формулу для вычисления поверхностного интеграла II рода: Если поверхность S задана в параметрической форме с помощью вектора , то последняя формула принимает вид где (u,v) изменяются в пределах области интегрирования D(u,v). Если поверхность S не представима в явном или параметрическом виде, то ее можно попробовать разбить на конечное число частей, каждая из которых представима в таком виде. В этом случае справедливо свойство аддитивности: поверхностный интеграл второго рода по поверхности S будет равен сумме интегралов по ее частям.

   Пример 1

Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля по внутренне ориентированной поверхности S, заданной уравнением , где . Применим формулу Поскольку то поверхностный интеграл можно записать в виде В результате простых вычислений находим ответ:

   Пример 2

Найти интеграл от векторного поля по поверхности S, заданной в параметрической форме вектором . Сначала найдем частные производные. Отсюда следует, что Следовательно, векторный элемент площади равен Так как , то векторное поле можно представить в виде: Тогда исходный поверхностный интеграл равен

   Пример 3

Оценить поток векторного поля через коническую поверхность , ориентированную внешней стороной. Поверхность конуса можно описать вектором : Область интегрирования D(x,y) представляет собой круг .
Найдем векторный элемент площади , перпендикулярный поверхности и направленный во внешнюю сторону. Определим частные производные: Тогда и векторный элемент равен Векторное поле на поверхности конуса можно записать в виде Отсюда следует, что поток векторного поля через поверхность S (или, другими словами, поверхностный интеграл II рода) равен Значение последнего интеграла легко вычисляется в полярных координатах.

   Пример 4

Оценить поток векторного поля через внутреннюю сторону единичной сферы . Запишем уравнение единичной сферы в сферических координатах: где . В результате вектор на заданной поверхности можно записать в виде Вычислим векторный элемент площади . Частные производные равны Следовательно, Таким образом, получаем (Этот вектор соответствует внутренней ориентации поверхности.) Находим поток векторного поля через заданную поверхность (или поверхностный интеграл второго рода):

   Пример 5

Вычислить интеграл , где S − часть внутренней поверхности эллипсоида, заданного параметрически в виде . Параметры u,v изменяются в интервале . Воспользуемся формулой Поскольку определитель может быть записан в виде Следовательно, поверхностный интеграл равен

   Пример 6

Найти интеграл , где S − внутренняя поверхность сферы . Запишем компоненты векторного поля : Уравнение сферы удобно преобразовать в сферические координаты: где . Применим формулу Так как то определитель под знаком двойного интеграла будет равен Это значение соответствует внутренней ориентации поверхности.

Искомый поверхностный интеграл будет равен Вычислим последние два интеграла отдельно. Следовательно, поверхностный интеграл имеет значение