Радиоактивный распад

В природе существует большое число атомных ядер, которые могут спонтанно излучать элементарные частицы или ядерные фрагменты. Такое явление называется радиоактивным распадом. Этот эффект изучали на рубеже 19-20 веков Антуан Беккерель, Мария и Пьер Кюри, Фредерик Содди, Эрнест Резерфорд и другие ученые. В результате экспериментов, Ф.Содди и Э.Резерфорд вывели закон радиоактивного распада, который описывается дифференциальным уравнением где N − количество радиоактивного материала, λ − положительная константа, зависящая от радиоактивного вещества. Знак минус в правой части означает, что количество радиоактивного материала N(t) со временем уменьшается (рисунок 1).

Данное уравнение легко решить, и решение имеет вид: Чтобы определить постоянную C, необходимо указать начальное значение. Если в момент t = 0 количество вещества было N₀, то закон радиоактивного распада записывается в виде: Далее мы введем две полезных величины, вытекающие из данного закона.

Периодом полураспада T радиоактивного материала называется время, необходимое для распада половины первоначального количества вещества. Следовательно, в момент T: Отсюда получаем формулу для периода полураспада: Среднее время жизни τ радиоактивного атома определяется выражением Видно, что период полураспада T и среднее время жизни τ связаны между собой по формуле: Эти два параметра широко варьируются для различных радиоактивных материалов. Например, период полураспада полония-212 меньше 1 микросекунды, а период полураспада тория-232 превышает миллиард лет! Большой спектр изотопов с различными периодами полураспада был выброшен из атомных реакторов и охлаждающих бассейнов при авариях в Чернобыле и Фукусиме (рисунок 2).

   Пример 1

Найти массу радиоактивного материала через промежуток времени, равный трем периодам полураспада. Начальная масса составляла 80г. По истечении периода полураспада масса радиоактивного материала уменьшается в два раза. Поэтому, после 3 периодов полураспада масса материала будет составлять от первоначального количества. Следовательно, через заданный промежуток времени масса вещества будет равна .

   Пример 2

Начальная масса изотопа йода составляла 200г. Определить массу йода спустя 30 дней, если период полураспада данного изотопа 8 дней. Согласно закону радиоактивного распада, масса изотопного вещества зависит от времени следующим образом: Постоянная распада λ здесь равна Вычислим массу вещества через 30 дней:

   Пример 3

Радиоактивный изотоп индий-111 часто используется в радиоизотопной медицинской диагностике и лучевой терапии. Его период полураспада составляет 2,8 дней. Какова была первоначальная масса изотопного вещества, если через две недели осталось 5г? Используя закон радиоактивного распада, можно записать: Решим уравнение относительно N₀: Подставляя известные значения T = 2.8 дней, t = 14 дней и N(t = 14) = 5г, получаем:

   Пример 4

Найти период полураспада радиоактивного вешщества, если активность каждый месяц уменьшается на 10%. Активность изотопа измеряется числом распада ядер за единицу времени, т.е. скоростью распада. Предположим, что dN_d ядер распадаются за некоторый короткий период времени dt. Тогда активность изотопа A выражается формулой Согласно закону радиоактивного распада, где N(t) − количество еще нераспавшегося вещества. Поэтому, Дифференцируя последнее выражение по времени t, находим выражение для активности: Первоначальная активность изотопа составляла Следовательно, Как видно, активность снижается со временем по такому же закону, как и количество еще нераспавшегося материала. Подставляя выражение для периода полураспада в последнюю формулу, получаем: Из последнего выражения легко найти значение T: В нашем случае период полураспада изотопа составляет