Свойства пределов

Предел функции обозначается как или через символ предела: .

Всюду ниже предполагается, что пределы функций существуют.

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций: Предел постоянной величины равен самой постоянной величине: Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела: Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций (при условии, что последние существуют): Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю: где степень p - действительное число. В частности, Если f ( x ) = x, то где основание a > 0.

где основание a > 0.

Предположим, что для всех x близких к a, за исключением, быть может, самой точки x = a. Тогда, если то То есть функция f (x) остается "зажатой" между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу L.

   Пример 1

Найти предел .

   Пример 2

Найти предел . Используя основные свойства пределов (правило суммы, правило частного и предел степенной функции), получаем

   Пример 3

Зная, что и , вычислить предел .

   Пример 4

Вычислить предел . Известно, что для всех x. Тогда можно записать Разделив это неравенство на 2x − 7 > 0, получаем (Поскольку мы рассматриваем большие и положительные значения x, и, следовательно, 2x − 7 > 0, то знаки неравенства при делении не изменяются.) Выполняя предельный переход, получаем Вычислим левый и правый пределы: Отсюда, по теореме о "двух милиционерах" следует, что

   Пример 5

Вычислить предел . Известно, что для всех x. Тогда Вычтем 5x из всех частей неравенства. Разделив на , получаем (Знаки неравенства при этом не меняются, поскольку является положительным числом при .)
Вычислим левый и правый пределы. Как видно, оба предела равны друг другу. Следовательно, по теореме "o двух милиционерах"