Определителем квадратной матрицы (a_ij) порядка n называется многочлен, составленный из элементов матрицы и содержащий n! членов вида (−1)^sa_1k1a_2k2...a_nkn . Каждое такое слагаемое соответствует одному из n! различных упорядоченных множеств k₁, k₂, ..., k_n, которые получаются в результате s попарных перестановок элементов из множества 1, 2, ..., n. Значение определителя сохраняется при линейных комбинациях строк или столбцов или при транспонировании матрицы.

Определитель матрицы n-го порядка записывается в виде

Определитель матрицы второго порядка
Определитель второго порядка состоит из 2 слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение 2 элементов:

Определитель матрицы третьего порядка
Определитель третьего порядка включает 6 слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение 3 элементов:

Определитель матрицы третьего порядка можно также вычислить с помощью правила Сарруса.
Три из шести слагаемых входят в определитель со знаком "плюс" и три − со знаком "минус". Соответствующие тройки элементов схематически показаны на рисунке.

Минор
Дополнительным минором M_ij, ассоциированным с элементом a_ij квадратной матрицы A n-го порядка, называется определитель (n − 1)-го порядка, соответствующий матрице с вычеркнутыми i-ой строкой и j-ым столбцом.

Алгебраическое дополнение
Алгебраическое дополнение A_ij связано с минором M_ij соотношением

Теорема Лапласа
Определитель n-го порядка можно вычислить с помощью формул Лапласа.
Разложение определителя по элементам i-ой строке имеет вид

Разложение определителя по элементам j-го столбца выражается формулой

Определитель транспонированной матрицы
Значение определителя не изменится, если строки и столбцы в матрице поменять местами (т.е. при транспонировании матрицы):

Перестановка строк и столбцов в определителе
Если две строки (или два столбца) поменять местами, то знак определителя изменится на противоположный:

Определитель с одинаковыми строками или столбцами
Если две строки (или два столбца) определителя одинаковы, то определитель равен нулю:

Умножение строки или столбца определителя на постоянное число
Умножение элементов любой строки (или столбца) на одно и то же число эквивалентно умножению определителя на это число. Иначе говоря, постоянный сомножитель элементов любой строки (или столбца) можно выносить за знак определителя.

Линейная комбинация элементов определителя
Если к элементам любой строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на постоянный коэффициент, то значение определителя не изменится: