Степенные ряды

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом: Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x₀), то есть ряд вида где x₀ − действительное число. Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.

Если интервал сходимости представляется в виде , где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.


Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле или на основе признака Даламбера:

   Пример 1

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда . Сделаем замену: u = x + 3. Тогда ряд принимает вид . Вычислим радиус сходимости: Соответственно, интервал сходимости равен (− ∞; ∞).

   Пример 2

Определить радиус и интервал сходимости степенного ряда . Вычислим радиус сходимости: Рассмотрим сходимость в конечных точках.
Если x = −1, то мы имеем расходящийся ряд .
Если x = 1, то ряд также расходится.
Следовательно, исходный ряд сходится на открытом интервале (− 1; 1).

   Пример 3

Найти радиус и интервал сходимости ряда Здесь и . Радиус сходимости будет равен В точке x = −1 мы имеем сходящийся ряд .
При x = 1 получаем расходящийся гармонический ряд .
Таким образом, заданный ряд сходится сходится на полуоткрытом интервале [− 1; 1).

   Пример 4

При каких значениях x ряд сходится? Найдем радиус и интервал сходимости данного ряда. Если x = −1, то получаем ряд который сходится по признаку Лейбница.

Если же x = 1, то мы имеем расходящийся ряд: Таким образом, интервал сходимости заданного ряда равен [− 1; 1).

   Пример 5

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда . Сделаем замену: u = x − 2. Тогда ряд запишется в виде . Вычислим радиус сходимости: Исследуем сходимость в конечных точках интервала.

Если u = −1, то такой ряд будет сходиться как обощенный гармонический ряд с показателем степени p =2 > 1.

Если u = 1, то получаем знакочередующийся ряд который также сходится по признаку Лейбница.
Таким образом, интервал сходимости для ряда равен [− 1; 1]. Поскольку новая и старая переменные связаны соотношением u = x − 2, то интервал сходимости исходного ряда будет равен Ответ: исходный ряд сходится в интервале [1; 3].

   Пример 6

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда Общий член данного степенного ряда (начиная с n = 0), выражается формулой Здесь и .
Определим радиус сходимости: Исследуем сходимости в конечных точках интервала.
При получаем Этот ряд сходится по признаку Лейбница.
При , соответственно, имеем ряд Применим для его анализа интегральный признак сходимости: Следовательно, ряд расходится. Поэтому, интервал сходимости исходного ряда равен .