Многогранником называется объемная выпуклая фигура с плоскими гранями и прямыми ребрами. Если грани представляют собой одинаковые правильные многоугольники, то такой многогранник является правильным. Правильные многогранники известны с давних времен. Так, на территории Шотландии найдены каменные фигуры правильных многогранников, возраст которых достигает 4000 лет! Позже древнегреческий философ и математик Платон (428/427 BC - 348/347 BC) подробно описал правильные многогранники, выделив 5 возможных типов (их называют также платоновыми телами). К правильным многогранникам относятся следующие тела: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр.

Основные свойства платоновых тел

Октаэдр − правильный многогранник с 8 гранями в форме треугольников.

Радиус сферы, вписанной в октаэдр
r = a√6/6

Радиус сферы, описанной вокруг октаэдра
R = a√2/2

Площадь поверхности октаэдра
S = 2a²√3

Объем октаэдра
V = a³√2/3

Икосаэдр − правильный многогранник с 20 гранями, имеющих форму треугольника.

Радиус сферы, вписанной в икосаэдр
r = a√3(3 + √5)/12

Радиус сферы, описанной вокруг икосаэдра

Площадь поверхности икосаэдра
S = 5a²√3

Объем икосаэдра
V = 5a³(3 + √5)/12

Додекаэдр − правильный многогранник с 12 гранями, каждая из которых имеет форму правильного пятиугольника.

Радиус сферы, вписанной в додекаэдр

Радиус сферы, описанной вокруг додекаэдра
R = a√3(1 + √5)/4

Площадь поверхности додекаэдра

Объем додекаэдра
V = a³(15 + 7√5)/4