Физические приложения тройных интегралов

Пусть тело занимает объем U и его объемная плотность в точке M(x,y,z) задана функцией ρ(x,y,z). Тогда масса тела m вычисляется с помощью тройного интеграла: Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz выражаются формулами Координаты центра тяжести тела вычисляются по формулам: Если тело является однородным с плотностью ρ(x,y,z) = 1 для точек M(x,y,z) в области U, то центр тяжести тела зависит только от геометрии тела и называется центроидом.

Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz определяются выражениями а моменты инерции тела относительно координатных осей Ox, Oy, Oz вычисляются по формулам Как видно, справедливы соотношения Моментом инерции тела относительно начала координат называется интеграл Момент инерции относительно начала координат можно выразить через моменты инерции относительно координатных плоскостей:
Используя рассмотренные выше 6 чисел I_x, I_y, I_z, I_xy, I_xz, I_yz, можно составить так называемую матрицу инерции или тензор инерции тела: Данный тензор является симметричным, и, следовательно, его можно привести к диагональному виду при определенном выборе осей Ox', Oy', Oz'. Значения диагональных элементов (после приведения тензора к диагональному виду) называются главными моментами инерции, а указанные направления − собственными векторами или главными осями инерции.

Если тело вращается вокруг оси, не совпадаюшей с главной осью инерции, то оно будет испытывать вибрации при высоких скоростях вращения. Поэтому, при конструировании таких устройств необходимо, чтобы ось вращения совпадала с одной из главных осей инерции. Например, при замене шин автомобиля проводится их балансировка: небольшие грузики добавляются к колесам, чтобы обеспечить совпадение оси вращения с главной осью инерции и исключить вибрации.

Ньютоновым потенциалом тела в точке P(x,y,z) называется интеграл где ρ(ξ,η,ζ) − плотность тела, и .

Интегрирование выполняется по всему объему тела. Зная потенциал, можно вычислить силу притяжения материальной точки массы m и заданного распределенного тела с плотностью ρ(ξ,η,ζ) по формуле где G − гравитационная постоянная.

   Пример 1

Найти центроид однородного полушара радиусом R. Введем систему координат таким образом, чтобы полушар был расположен при z ≥ 0 и имел центр в начале координат (рисунок 1). В данной системе координат будем искать координаты центроида (центра тяжести) тела.

Очевидно, что в силу симметрии Вычислим координату центра тяжести по формуле Поскольку полушар однородный, то полагаем ρ(x,y,z) = ρ₀. Тогда В знаменателе через V обозначен объем полушара, равный Остается вычислить тройной интеграл . Для этого перейдем к сферическим координатам. При этом радиальную координату будем обозначать через r − чтобы не путать с плотностью ρ. Получаем: Таким образом, координата центра тяжести равна

   Пример 2

Определить массу и координаты центра тяжести единичного куба с плотностью ρ(x,y,z) = x + 2y + 3z
(рисунок 2). Сначала вычислим массу куба: Теперь вычислим статические моменты M_xy, M_xz, M_yz. Аналогично находим моменты M_xz и M_yz: Вычисляем координаты центра тяжести куба:

   Пример 3

Найти массу шара радиуса R, плотность γ которого пропорциональна квадрату расстояния от центра. По условию, плотность γ задана соотношением γ = ar², где a − некоторая постоянная, r − расстояние от центра. Массу шара удобно вычислить в сферических координатах:

   Пример 4

Найти момент инерции прямого круглого однородного конуса относительно его оси. Конус имеет радиус основания R, высоту H и общую массу m (рисунок 3). Момент инерции тела относительно оси Oz выражается формулой Поскольку конус является однородным, то плотность γ(x,y,z) = γ₀ можно вынести за знак интеграла: Перейдем к цилиндрическим координатам с помощью замены Новые переменные изменяются в пределах Тогда момент инерции равен Выразим плотность γ₀ через известную массу конуса m. Так как то, следовательно Окончательно получаем Интересно, что момент инерции конуса не зависит от его высоты.

   Пример 5

С какой силой притягивает однородный шар массы M материальную точку массы m, расположенную на расстоянии a от центра шара (a > R)? Без снижения общности материальную точку можно поместить на оси Oz (рисунок 4), так что ее координата составляет (0, 0, a). Решим задачу следующим образом. Сначала вычислим потенциал шара, а затем найдем силу притяжения материальной точки и шара. При этом для нахождения потенциала шара вместо вычисления тройного интеграла технически удобно сначала определить потенциал сферы (через поверхностный интеграл), а затем уже получить результат для шара (выполнив еще одно интегрирование).

Итак, вычислим потенциал сферы произвольного радиуса r (r ≤ R). Выделим на сфере малый участок площадью dS, как показано на рисунке 5. Масса этого участка равна где ρ(r) − плотность сферы, а dr − ее толщина. Указанная сфера создает в точке P потенциал, равный где расстояние δ от участка dS до точки P выражено по теореме косинусов через величины a, r, θ.

Учитывая, что элемент площади равен , получаем Вычислим отдельно интеграл по переменной θ. Сделаем следующую замену: пусть Тогда В результате находим интеграл Таким образом, потенциал сферы радиуса r равен Теперь можно вычислить потенциал шара радиуса R. Пусть для простоты плотность шара постоянна и равна ρ₀. Получаем В полученном выражении 4/3πR³ = V − это объем шара, а ρ₀V = M − масса шара. В итоге мы доказали, что потенциал гравитационного поля, создаваемого шаром на расстоянии a от центра шара (a > R), выражается формулой Далее легко найти силу притяжения шара и материальной точки. Поскольку то сила равна Знак "минус" означает, что сила направлена в сторону, противоположную оси Oz, т.е. является силой притяжения.

Как видно, сила притяжения шара и точки имеет такой же вид, как и сила притяжения двух точечных масс! Это один из фундаментальных результатов в астрофизике и небесной механике. Благодаря этому, планеты и звезды часто можно рассматривать как материальные точки при описании их движения. Чтобы получить этот результат, Исаак Ньютон был вынужден даже отложить публикацию своих знаменитых "Начал Философии". Возможно трудности были связаны с тем, что он не использовал сферические координаты при решении этой задачи...

   Пример 6

Пусть планета имеет радиус R, а ее плотность выражается зависимостью Вычислить массу планеты. Расссмотрим подробнее закон изменения плотности. Если r = R, то где γ₀ − некоторая поверхностная плотность планеты. Если r → 0, то γ → ∞ (рисунок 6). Массу планеты вычислим с помощью тройного интеграла по формуле: Переходя к сферическим координатам, получаем Поскольку объем планеты равен 4/3πR³, то ответ можно записать и в такой форме: Как видно, масса планеты на 25% больше по сравнению со случаем, когда плотность распределена однородно.