Физические приложения поверхностных интегралов

Поверхностные интегралы применяются во многих прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются Пусть S представляет собой тонкую гладкую оболочку. Распределение массы оболочки описывается функцией плотности . Тогда полная масса оболочки выражается через поверхностный интеграл первого рода по формуле Пусть распределение массы m в тонкой оболочке описывается непрерывной функцией плотности . Координаты центра масс оболочки определяются формулами где − так называемые моменты первого порядка относительно координатных плоскостей x = 0, y = 0 и z = 0, соответственно.

Моменты инерции оболочки относительно осей Ox, Oy, Oz выражаются, соответственно, формулами Моменты инерции оболочки относительно плоскостей xy, yz, xz определяются формулами Пусть задана поверхность S, а в точке (x₀, y₀, z₀), не принадлежащей поверхности, находится тело массой m (рисунок 1). Сила притяжения между поверхностью S и точечным телом m определяется выражением где , G - гравитационная постоянная, − функция плотности.

Предположим, что поверхность S задана вектором и находится под воздействием некоторой силы давления (это может быть плотина, крыло самолета, стенка баллона со сжатым газом и т.д.). Полная сила , созданная давлением , находится с помощью поверхностного интеграла по формуле Давление, по определению, действует в направлении вектора нормали к поверхности S в каждой точке. Поэтому, мы можем записать где − единичный нормальный вектор к поверхности S.

Если в качестве векторного поля рассматривается скорость жидкости , то поток через поверхность S называется потоком жидкости. Он равен объему жидкости, проходящей через поверхность S в единицу времени и выражается формулой Аналогично, поток векторного поля , где ρ − плотность, называется потоком вещества и определяется выражением Он численно равен массе вещества, проходящего через поверхность S в единицу времени.

Пусть величина является плотностью распределения заряда по поверхности. Тогда полный заряд, распределенный по проводящей поверхности S выражается формулой Поток электрического смещения через замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности: где , − напряженность электрического поля, ε − относительная диэлектрическая проницаемость среды, − диэлектрическая проницаемость вакуума.
Теорема Гаусса применима к любым замкнутым поверхностям. В случае поверхности с достаточной симметрией, данная теорема упрощает вычисление электрического поля. Теорему Гаусса рассматривают как один из основных постулатов теории электричества. Она входит в систему основных уравнений Максвелла.

   Пример 1

Найти массу цилиндрической оболочки, заданной параметрически в виде , где (рисунок 2 выше). Плотность оболочки определяется функцией . Массу оболочки определим по формуле Вычислим элемент площади dS: Найдем частные производные и их векторное произведение: Отсюда следует, что . Следовательно, масса оболочки равна

   Пример 2

Найти массу параболической оболочки, заданной уравнением и имеющей плотность . Воспользуемся формулой Проекция D(x,y) параболической поверхности S на плоскость xy представляет собой круг радиусом 1 с центром в начале координат. Следовательно, можно записать Переходя в подынтегральном выражении к полярным координатам, получаем Сделаем подстановку . Тогда . Здесь u = 1 при r = 0, и при r = 1. Следовательно, интеграл равен

   Пример 3

Найти центр масс части сферической оболочки , расположенной в первом октанте и имеющей постоянную плотность μ₀. Очевидно, масса данной части сферы (рисунок 3) равна Вычислим момент первого порядка M_yz. где проекция D(x,y) поверхности на плоскость xy представляет собой часть круга, лежащую в первом квадранте (рисунок 4).

Поскольку то Отсюда находим выражение для момента первого порядка M_yz: Далее удобнее преобразовать интеграл в полярные координаты: Вычислим первый интеграл в квадратных скобках. Сделаем замену: . При r = 0 имеем t = 0, а при r = a, соответственно, . Тогда интеграл будет равен Второй интеграл имеет значение Таким образом, момент первого порядка M_yz равен Отсюда находим координату x_c центра масс: В силу симметрии, другие координаты имеют то же самое значение.

Итак, координаты центра масс оболочки имеют вид

   Пример 4

Вычислить момент инерции однородной сферической оболочки x² + y² + z² = 1 (z ≥ 0) с плотностью μ₀ относительно оси Oz. Момент инерции I_z находится по формуле: где поверхность S − это полусфера x² + y² + z² = 1 (z ≥ 0).

Поскольку поверхность верхней полусферы описывается функцией , то элемент площади равен Тогда поверхностный интеграл выражается через двойной интеграл в виде где область интегрирования D(x,y) представляет собой круг . Переходя к полярным координатам, получаем FIX Для вычисления последнего интеграла сделаем замену: . Если r = 0, то t = 1. Если r = 1, то, наоборот, t = 0. В результате можно окончательно вычислить момент инерции:

   Пример 5

Найти силу притяжения между полусферой с постоянной плотностью μ₀ радиусом r с центром в начале координат и точечной массой m, расположенной в начале координат. Рассмотрим точку M(x,y,z) полусферы, которая принадлежит малому участку поверхности dS (рисунок 5). Силу притяжения между элементом поверхности dS и массой m можно записать в виде где G − гравитационная постоянная, − единичный вектор, направленный из точки O в точку M.
Так как , то можно записать После интегрирования по поверхности полусферы получаем следующие выражения для компонентов силы притяжения: В сферических координатах уравнение полусферы записывается в виде где .
Известно, что элемент площади для сферы равен . Тогда компоненты силы притяжения будут равны Заметим, что результат очевиден вследствие симметрии и однородности поверхности. Поэтому, результирующая сила направлена вдоль оси Oz.

   Пример 6

Оценить силу давления, действующую на дамбу, схематически показанную на рисунке 6 и представляющую собой резервуар воды шириной W и высотой H. В условиях гидростатического равновесия давление на поверхность дамбы зависит от координаты z в соответствии с формулой где ρ − плотность воды, g − ускорение свободного падения.

Полная сила давления, действующая на плотину, будет равна Вектор показывает направление действия силы . Абсолютное значение силы равно

   Пример 7

Вязкая жидкость течет в цилиндрической трубе радиусом R со скоростью (м·с⁻¹), где − единичный вектор, направленный вдоль оси трубы в сторону потока, r − расстояние от оси, C − некоторая константа (рисунок 7). Вычислить поток жидкости через поперечное сечение трубы. Для определения потока жидкости необходимо вычислить поверхностный интеграл Так как векторы и сонаправлены, то поток равен Переходя к полярным координатам, получаем Последний интеграл можно вычислить с помощью интегрирования по частям. Полагая можно записать Таким образом, поток жидкости равен

   Пример 8

Определить электрическое поле бесконечной пластины с однородно распределенным зарядом плотностью σ. В силу симметрии системы вектор напряженности электрического поля должен быть перпендикулярен поверхности, а величина напряженности должна быть одинакова во всех точках, равноудаленных от пластины.

Рассмотрим условную гауссовскую поверхность в форме цилиндра с поперечным сечением S и высотой 2H (рисунок 8). Поток электрического смещения отличен от нуля лишь на основаниях цилиндра. Следовательно, , где E − электрическое поле в основаниях цилиндра. Полный заряд внутри цилиндрической поверхности равен . Тогда по теореме Гаусса получаем