Физические приложения двойных интегралов

Предположим, что плоская пластина изготовлена из неоднородного материала и занимает область R в плоскости Oxy. Пусть плотность пластины в точке (x, y) в области R равна . Тогда масса пластины выражается через двойной интеграл в виде Статический момент пластины относительно оси Ox определяется формулой Аналогично находится статический момент пластины относительно оси Oy : Координаты центра масс пластины, занимающей область R в плоскости Oxy с плотностью, распределенной по закону , описываются формулами Для однородной пластины с плотностью для всех (x, y) в области R центр масс определяется только формой области и называется центроидом.

Момент инерции пластины относительно оси Ox выражается формулой Аналогично вычисляется момент инерции пластины относительно оси Oy : Полярный момент инерции пластины равен Предположим, что электрический заряд распределен по области R в плоскости Oxy и его плотность распределения задана функцией . Тогда полный заряд пластины Q определяется выражением Приведем также формулу дял расчета среднего значения некоторой распределенной величины. Пусть f (x,y) является непрерывной функцией в замкнутой области R в плоскости Oxy. Среднее значение функции μ функции f (x,y) в области R определяется формулой где − площадь области интегрирования R.

   Пример 1

Определить координаты центра тяжести однородной пластины, образованной параболами и . Заданная пластина имеет форму, показанную на рисунке 1. Поскольку пластина однородна, то можно положить . Тогда масса пластины равна Найдем теперь статические моменты относительно осей Ox и Oy. Вычисляем координаты центра масс.

   Пример 2

Вычислить моменты инерции треугольника, ограниченного прямыми (рисунок 2) и имеющего плотность . Найдем момент инерции пластины относительно оси Ox. Аналогично вычислим момент инерции относительно оси Oy.

   Пример 3

Электрический заряд по площади диска таким образом, что его поверхностная плотность равна . Вычислить полный заряд диска. В полярных координатах область, занятая диском, описывается множеством . Полный заряд будет равен