Теорема Остроградского-Гаусса

Обозначим через G трехмерное тело, ограниченное кусочно-непрерывной, гладкой, замкнутой поверхностью S с внешней нормалью. Предположим, что задано векторное поле компоненты которого имеют непрерывные частные производные.

Согласно формуле Остроградского-Гаусса, где через обозначена дивергенция векторного поля (она обозначается также символом ). Символ указывает, что поверхностный интеграл вычисляется по замкнутой поверхности.

Формула Остроградского-Гаусса связывает поверхностные интегралы второго рода с соответствующими тройными интегралами.

Данную формулу можно записать также в координатной форме: В частном случае, полагая , получаем формулу для вычисления объема тела G:

   Пример 1

Вычислить поверхностный интеграл , где S − внешне ориентированная поверхность сферы, заданная уравнением . Используя формулу Остроградского-Гаусса, можно записать Вычислим полученный тройной интеграл в сферических интегралах.

   Пример 2

Применяя теорему Остроградского-Гаусса, вычислить поверхностный интеграл от векторного поля , где S − поверхность тела, образованного цилиндром и плоскостями z = −1, z = 1 (рисунок 1). В соответствии с формулой Остроградского-Гаусса, Вычисляя в цилиндрических координатах, получаем ответ:

   Пример 3

Используя формулу Остроградского-Гаусса, оценить поверхностный интеграл от векторного поля , где S − поверхность тела, ограниченного и плоскостью z = 1. Данное тело схематически изображено на рисунке 2. Применяя теорему Остроградского-Гаусса, можно записать Переходя к цилиндрическим координатам, получаем

   Пример 4

Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля , где S является поверхностью тетраэдра с вершинами O (0,0,0), A (1,0,0), B (0,1,0), C (0,0,1) (рисунок 3). По формуле Остроградского-Гаусса, Вычислим полученный тройной интеграл. Уравнение прямой AB имеет вид А уравнение плоскости ABC равно Находим значение интеграла:

   Пример 5

Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля , где S − поверхность параллелепипеда, образованного плоскостями x = 0, x = 1, y = 0, y = 2, z = 0, z = 3 (рисунок 4). Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса:

   Пример 6

Найти интеграл , где S − внешняя поверхность пирамиды (рисунок 5). Применяя формулу Остроградского-Гаусса можно записать искомый поверхностный интеграл в виде Вычислим тройной интеграл. Область интегрирования в плоскости xy показана на рисунке 6. Полагая z = 0, получаем Следовательно, область D можно представить в виде множества Решая неравенство относительно переменной z, получаем Тогда интеграл равен