Ортогональные полиномы и обобщенный ряд Фурье

Два полинома, заданные на интервале [a,b] являются ортогональными, если выполнено условие где w(x) − неотрицательная весовая функция.

Множество полиномов p_n (x), n = 0, 1, 2,... , где n − степень полинома p_n (x), образуют систему ортогональных полиномов, если справедливо равенство где c_n − заданные константы, а δ_mn − символ Кронекера. Обобщенным рядом Фурье для некоторой функции называется ее разложение в ряд на основе системы ортогональных полиномов. Любая кусочно непрерывная функция может быть представлена в виде обобщенного ряда Фурье: Ниже мы рассмотрим 4 вида ортогональных полиномов: полиномы Эрмита, Лагерра, Лежандра и Чебышева. Полиномы Эрмита ортогональны с весовой функцией на интервале (− ∞, ∞): Иногда используется альтернативное определение, в котором весовая функция равна . Это соглашение распространено в теории вероятностей, в частности, из-за того, что плотность нормального распределения описывается функцией . Полиномы Лагерра ортогональны с весовой функцией на интервале (0, ∞): Полиномы Лежандра ортогональны на интервале [− 1, 1]: Полиномы Чебышева первого рода ортогональны на отрезке [− 1, 1] с весовой функцией :

   Пример 1

Показать, что множество функций ортогонально на отрезке [− π, π]. Вычислим следующие интегралы: Первый интеграл равен Если m ≠ n, то В случае m = n получаем Таким образом, Аналогично находим, что Это значит, что последовательность функций образует ортогональную систему на интервале [− π, π].

   Пример 2

Найти разложение функции в ряд Фурье-Эрмита. Воспользуемся явными выражениями для полиномов Эрмита: Применяя метод неопределенных ов, запишем равенство Подставляя многочлены Эрмита и приравнивая ы при одинаковых степенях x, получаем Следовательно разложение заданной функции в ряд Фурье-Эрмита описывается выражением

   Пример 3

Найти разложение степенной функции в ряд Фурье-Лагерра. Данное разложение описывается общей формулой Вычислим ы c_n. где Г − гамма-функция.

Для n ≥ 1 получаем: Продолжая интегрирование по частям, находим что Если же n > p, то c_n = 0.

Следовательно, разложение степенной функции в ряд Фурье-Лагерра имеет вид: Поскольку , то решение можно записать в более компактной форме: Проверим ответ, например, для p = 2. Тогда Подставляя полиномы Лагерра в формулу выше, получаем тождество

   Пример 4

Найти разложение в ряд Фурье-Лежандра ступенчатой функции Разложение в ряд записывается в виде Подставляя явные выражения полиномов Лежандра, получаем Вычислим ы c_n. Для n = 0 находим, что P₀(x) = 0. Тогда Вычислим теперь значение производной , чтобы найти ы c_n при n ≥ 1. Очевидно, что при x = 1 это выражение равно 0 при любых n ≥ 1. Чтобы определить значение производной в точке x = 0, применим биномиальную формулу Ньютона: Отсюда видно, что сумма равна нулю при x = 0 для четных чисел n = 2k, k = 0, 1, 2, 3, .... Для нечетных чисел сумма ряда в точке x = 0 будет равна Мы использовали здесь то обстоятельство, что для n = 2k + 1 и m = k + 1 справедливо равенство при x → 0. Для других значений m и n члены ряда равны нулю. Следовательно, Таким образом, разложение ступенчатой функции в ряд Фурье-Лежандра представляется формулой На рисунке 1 показаны аппроксимации ступенчатой функции данным рядом при n = 5, 10 и 15.

   Пример 5

Найти разложение функции в ряд Фурье-Чебышева на интервале [− 1, 1]. Исходя из общих представлений, можно записать Для вычисления ов c_n воспользуемся свойством ортогональности многочленов Чебышева на интервале [− 1, 1] с весовой функцией .
Умножая обе части последнего равенства на и интегрируя на отрезке [− 1, 1], получаем Поскольку функция нечетная, и мы интегрируем на симметричном интервале [− 1, 1], то интеграл в левой части равен 0: Преобразуем правую часть: Умножая в последнем интеграле числитель подынтегрального выражения на , видим, что вследствие ортогональности многочленов Чебышева.

Таким образом, Вычисляя, находим Следовательно, c₀ = 0.

Аналогично можно определить ы c_n.
Умножим выражение на и проинтегрируем его от −1 до 1. Получаем в силу свойства ортогональности.

Подставим далее явные выражения для T_m(x) и сделаем замену переменной: Пределы интегрирования будут равны Тогда Вычислим полученные интегралы отдельно. Для случая m = 1 имеем Аналогично вычислим второй интеграл: Если m = 3, то получаем Итак, видно, что множество функций ортогонально на интервале [0, π], и ы c_m равны Следовательно, разложение в ряд Фурье-Чебышева функции на интервале [− 1, 1] имеет вид: