Степенью действительного числа a с натуральным показателем n называется выражение
${a^n} = \underbrace {a \cdot a \ldots a}_{n\text{ раз}}, \text{ где } a \in \mathbb{R},n \in \mathbb{N}$.

Умножение степеней с одинаковыми основаниями
${a^n}{a^m} = {a^{n + m}}$

Деление степеней с одинаковыми основаниями
${a^n}/{a^m} = {a^{n - m}}\;\left( {n > m} \right)$

Степень произведения
${\left( {ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}$

Степень частного
${\left( {\large\frac{a}{b}}\normalsize \right)^n} = \large\frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\normalsize\;\;\left( {b \ne 0} \right)$

Двойное возведение в степень
${\left( {{a^n}} \right)^m} = {a^{nm}}$

${0^n} = 0$ 

${1^n} = 1$ 

${a^1} = a$ 

Возведение отрицательного числа в четную степень
${\left( { - a} \right)^{2n}} = {a^{2n}}\;\left( {a > 0} \right)$

Возведение отрицательного числа в нечетную степень
${\left( { - a} \right)^{2n + 1}} = - {a^{2n + 1}}\;\;\left( {a > 0} \right)$

Нулевая степень
${a^0} = 1\;\;\left( {a \ne 0} \right)$

Выражение ${0^0}$ не определено.

Отрицательная степень
${a^{ - r}} = 1/{a^r},\text{ где }r \in \mathbb{Q},a \ne 0$.

Степенью положительного действительного числа $a$ с рациональным показателем $p/q$ называется выражение
${a^{p/q}} = \sqrt[\large q\normalsize]{{{a^p}}},\text{ где }a \ge 0,p \in \mathbb{Z},q \in \mathbb{N}$.

Определение степени с иррациональным показателем $\beta$:
${a^\beta } = \lim\limits_{{r_n} \to \beta } {a^{{r_n}}},$
где ${r_n}$ представляет собой произвольную последовательность рациональных чисел, сходящуюся к показателю $\beta$.

Для любых действительных показателей $u$, $v$ при условии $a > 0$ и $b > 0$ справедливы следующие действия со степенями:
${a^u}{a^v} = {a^{u + v}}$,  ${\left( {{a^u}} \right)^v} = {a^{uv}}$,  ${a^{ - u}} = 1/{a^u}$,  $\large\frac{{{a^u}}}{{{a^v}}}\normalsize = {a^{u - v}}$,  ${\left( {ab} \right)^u} = {a^u}{b^u}$,  ${\left( {\large\frac{a}{b}}\normalsize \right)^u} = \large\frac{{{a^u}}}{{{b^u}}}\normalsize .$