Нелинейный математический маятник

Математический маятник представляет собой идеальную модель, в которой материальная точка массой m подвешена на невесомой и нерастяжимой нити длиной L. В такой системе происходят периодические колебания, которые можно рассматривать как вращение маятника вокруг оси O (рисунок 1). Динамика вращательного движения описывается дифференциальным уравнением где ε − угловое ускорение, M − момент силы, вызывающий вращение, I − момент инерции тела относительно оси вращения.

В нашем случае момент силы определяется проекцией силы тяжести на тангенциальное направление, т.е. Знак минус означает, что при положительном угле поворота α (против часовой стрелки) момент сил вызывает вращение в противоположном направлении.

Момент инерции маятника выражается формулой Тогда уравнение динамики принимает вид: В случае малых колебаний полагают sin α ≈ α. В результате возникает линейное дифференциальное уравнение где − круговая частота колебаний.

Период малых колебаний маятника описывается известной формулой Однако при увеличении амплитуды колебаний линейная формула перестает быть справедливой. В этом случае для корректного описания колебательной системы нужно решать исходное нелинейное дифференциальное уравнение. Итак, пусть маятник описывается нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка Будем рассматривать колебания при начальных условиях Угол α₀ представляет собой амплитуду колебаний.

Порядок уравнения можно понизить, если подобрать подходящий интегрирующий множитель. Умножим данное уравнение на интегрирующий множитель . Это приводит к уравнению После интегрирования получаем дифференциальное уравнение первого порядка: С учетом начальных условий находим постоянную C: Тогда уравнение принимает вид: Далее применим тригонометрическую формулу двойного угла что приводит к следующему дифференциальному уравнению: Интегрируя это уравнение, получаем Обозначим и введем новую переменную θ вместо угла α: Тогда Отсюда следует, что В новых обозначениях наше уравнение записывается как Обсудим пределы интегрирования. Прохождение маятником дуги от нижней точки α = 0 до максимального отклонения α = α₀ соответствует четверти периода колебаний T/4. Из соотношения между углами α и θ следует, что при α = α₀ должно быть sin θ = 1 или θ = π/2. Поэтому получаем следующее выражение для периода колебаний маятника: Интеграл в правой части не выражается через элементарные функции. Он представляет собой так называемый полный эллиптический интеграл 1-го рода: Функция K(k) вычисляется в большинстве математических пакетов. Ее график приведен выше на рисунке 2. Функцию K(k) можно представить также в виде степенного ряда: где двойные факториалы (2n − 1)!! и (2n)!! обозначают произведение, соответственно, натуральных нечетных и четных чисел.

Заметим, что если мы ограничимся нулевым членом разложения, полагая K(k) ≈ π/2, то получим известную формулу для периода малых колебаний маятника: Последующие члены ряда при n ≥ 1 как раз позволяют учесть ангармонизм колебаний маятника и нелинейную зависимость периода T от амплитуды колебаний α₀.

   Пример

Оценить ошибку в расчете периода колебаний математического маятника в случае использования простейшей формулы T₀ = 2π √L/g  при различной амплитуде колебаний α₀.
Воспользуемся решением более общего нелинейного уравнения колебаний маятника, в котором выражение для периода T представляется в виде ряда. С учетом члена n = 1 формула T(α₀) выглядит так: где T₀ − период колебаний, вычисляемый по стандартной формуле Таким образом, слагаемое сразу же показывает отклонение от стандартной формулы (в долях единицы) в зависимости от угла α₀.

Аналогичным образом учтем вклад последующих членов ряда при n = 2 и n = 3. Соответствующие формулы имеют вид: Представленные на рисунке 3 графики показывают значение выражения в квадратных скобках для функций T₁ и T₂ (в процентах), т.е. фактически дают ошибку в определении периода колебаний при использовании стандартной формулы T₀ по сравнению с более точными приближениями. Видно, что степенной ряд хорошо сходится, и в диапазоне углов до α₀ = 20° вполне можно ограничиться в разложении первым членом ряда n = 1, чтобы обеспечить точность расчета около 1%.