Натуральный логарифм

Логарифм по основанию e (e - трансцендентное число, приближенно равное 2,718281828...) называется натуральным логарифмом. Натуральный логарифм числа x обозначается ln x. Натуральные логарифмы широко используются в математике, физике и инженерных расчетах.

Пусть число a является основанием логарифма (a > 0, a ≠ 1), и пусть задана логарифмическая функция Отсюда следует, что Взяв натуральный логарифм от левой и правой части, получаем Последняя формула выражает произвольный логарифм числа x по основанию a через натуральный логарифм этого числа. Полагая x = e, можно записать Если a = 10, то получаем десятичный логарифм: Обратное соотношение имеет вид: Графики функций y = ln x и y = lg x показаны на рисунке 1.

   Пример 1

Вычислить .

   Пример 2

Записать в виде одного логарифма

   Пример 3

Схематически изобразить график функции  y = ln (x + 1) − 1. График функции  y = ln (x + 1) − 1 получается в результате сдвига графика функции y = ln x на одну единицу влево (при этом мы получаем функцию y = ln (x + 1)) и на одну единицу вниз (см. рис.2).

   Пример 4

Схематически изобразить график функции . График искомой функции (рисунок 3) получается в результате следующих преобразований. Часть графика функции , лежащая в области x ≥ 1, совпадает с графиком функции y = ln x. Остальная часть, соответствующая y < 0 (при 0 < x < 1), отражается относительно оси Оx в верхнюю полуплоскость.

   Пример 5

Схематически изобразить график функции y = |ln |x||. Сначала мы построим график функции y = |ln x|, как описано в предыдущем примере. Затем отразим график этой функции относительно оси Оy в левую полуплоскость. Совокупность этих графиков и представляет собой график искомой функции y = |ln |x|| (рисунок 4).