Метод функций Ляпунова

Функция Ляпунова представляет собой скалярную функцию, заданную на фазовом пространстве системы, с помощью которой можно доказать устойчивость положения равновесия. Метод функций Ляпунова применяется для исследования устойчивости различных дифференциальных уравнений и систем. Ниже мы ограничимся рассмотрением автономных систем имеющих нулевое положение равновесия X ≡ 0.

Предположим, что в некоторой окрестности U начала координат задана непрерывно дифференцируемая функция Пусть V(X) > 0 для всех X ∈ U \{0}, а в начале координат V(0) = 0. Такими функциями являются, например, функции вида Найдем полную производную функции V(X) по времени t: Это выражение можно записать в виде скалярного произведения двух векторов: Здесь первый вектор представляет собой градиент функции V(X), т.е. он всегда направлен в сторону наибольшего возрастания функции V(X). Как правило, функция V(X) возрастает при удалении от начала координат, т.е. при условии |X| → ∞. Второй вектор в скалярном произведении − это вектор скорости движения. В любой точке он направлен по касательной к фазовой траектории.

Рассмотрим случай, когда производная функции V(X) в окрестности U начала координат отрицательна: Это означает, что угол φ между вектором градиента и вектором скорости больше 90°. Для функции двух переменных это схематически показано на рисунках 1 и 2. Очевидно, что если производная dV/dt вдоль фазовой траектории всюду отрицательная, то траектория движения стремится к началу координат, т.е. система является устойчивой. В противном случае, когда производная dV/dt положительна, траектория стремится от начала координат, т.е. система является неустойчивой.

Перейдем к строгим формулировкам.

Функция V(X), непрерывно дифференцируемая в некоторой окрестности U начала координат, называется функцией Ляпунова автономной системы если выполнены следующие условия:

1. V(X) > 0 для всех X ∈ U \{0};
   
2. V(0) = 0;
   
3. dV/dt ≤ 0 для всех X ∈ U.

Теорема об устойчивости в смысле Ляпунова. Если в некоторой окрестности U нулевого решения X = 0 автономной системы существует функция Ляпунова V(X), то положение равновесия X = 0 является устойчивым по Ляпунову.

Теорема об асимптотической устойчивости. Если в некоторой окрестности U нулевого решения X = 0 автономной системы существует функция Ляпунова V(X) с отрицательно определенной производной dV/dt < 0 для всех X ∈ U \{0}, то положение равновесия X = 0 является асимптотически устойчивым.

Как видно, для асимптотической устойчивости нулевого решения требуется, чтобы полная производная dV/dt была строго отрицательной (отрицательно определенной) в окрестности начала координат. Теорема Ляпунова о неустойчивости. Пусть в окрестности U нулевого решения X = 0 существует непрерывно дифференцируемая функция V(X), такая, что

1. V(0) = 0;
   
2. dV/dt > 0.

Если в окрестности U имеются точки, в которых V(X) > 0, то нулевое решение X = 0 является неустойчивым.

Теорема Четаева о неустойчивости. Пусть в окрестности U нулевого решения X = 0 автономной системы существует непрерывно дифференцируемая функция V(X). Пусть окрестность U содержит подобласть U₁, включающую начало координат (рис.3), такую, что

1. V(X) > 0 для всех X ∈ U₁\{0};
   
2. dV/dt > 0 для всех X ∈ U₁\{0};
   
3. V(X) = 0 для всех X ∈ δU₁, где δU₁ обозначает границу подобласти U₁.

Тогда нулевое решение X = 0 системы неустойчиво. В этом случае фазовые траектории в подобласти U₁ будут стремиться от начала координат.

Таким образом, функции Ляпунова позволяют установить устойчивость или неустойчивость системы. Преимуществом данного метода является то, что здесь не требуется знать само решение X(t). Кроме того, данный метод позволяет исследовать устойчивость положений равновесия негрубых систем, − например, в случае, когда точка равновесия является центром. Недостаток заключается в том, что не существует общего метода построения функций Ляпунова. В частном случае однородных автономных систем с постоянными коэффициентами функцию Ляпунова можно искать в виде квадратичной формы.

   Пример 1

Исследовать на устойчивость нулевое решение системы Данная система представляет собой линейную однородную систему с постоянными коэффициентами. В качестве функции Ляпунова возьмем квадратичную форму где коэффициенты a, b подлежат определению.

Очевидно, что функция V(x,y) всюду положительна, кроме начала координат, где она равна нулю. Вычислим полную производную функции V(x,y): Выражение в скобках можно преобразовать в квадрат разности, если выполняется условие Мы можем взять любую подходящую комбинацию, например, положим a = 1, b = 8. Тогда производная принимает вид: Таким образом, для данной системы существует функция Ляпунова, причем ее производная всюду отрицательна за исключением начала координат. Следовательно, нулевое решение системы асимптотически устойчиво (устойчивый узел).

   Пример 2

Исследовать на устойчивость нулевое решение системы Заметим, что для данной системы метод первого приближения неприменим, поскольку нулевое решение представляет собой "центр" (т.е. система не является грубой): Воспользуемся методом функций Ляпунова для анализа устойчивости. Пусть функция V(X) имеет вид Вычислим производную функции V(X) в силу данной системы: Таким образом, производная тождественно равна нулю. Следовательно, функция V(X) является функцией Ляпунова и нулевое решение системы устойчиво в смысле Ляпунова. Условие асимптотической устойчивости здесь не выполняется (для этого производная dV/dt должна быть отрицательной).

   Пример 3

Исследовать на устойчивость нулевое решение нелинейной системы Очевидно, что якобиан данной системы в точке (0,0) представляет собой нулевую матрицу: Собственные значения этой матрицы равны нулю: λ_1,2 = 0. Поэтому метод исследования устойчивости по первому приближению неприменим.

Посмотрим какой результат можно получить, используя функцию Ляпунова. В качестве такой функции возьмем которая является положительно определенной всюду, кроме начала координат. Вычислим полную производную: Здесь снова, как и в предыдущем примере, производная тождественно равна нулю. Это значит, что нулевое решение системы устойчиво (в смысле Ляпунова).

   Пример 4

Исследовать на устойчивость нулевое решение системы, используя метод функций Ляпунова: В качестве возможной функции Ляпунова выберем функцию вида Очевидно, эта функция является положительно определенной всюду, кроме начала координат, где она равна нулю. Вычислим ее производную (в силу данной системы): Как видно, производная является отрицательно определенной всюду, кроме точки (0,0). Тогда нулевое решение будет асимптотически устойчивым.

Используя метод первого приближения, можно убедиться, что нулевое положение равновесия представляет собой устойчивый фокус. Действительно, собственные значения линеаризованной системы являются комплексно-сопряженными числами с отрицательной действительной частью:

   Пример 5

Используя функцию Ляпунова, исследовать на устойчивость нулевое решение системы Возьмем в качестве функции V(X) следующую функцию: Выбор коэффициентов будет ясен из последующих преобразований. Вычислим полную производную функции V(X) в силу данной системы: Таким образом, производная dV/dt является положительно определенной всюду, кроме начала координат.

С другой стороны, можно найти точки, сколь угодно близкие к нулю, в которых функция V(X) также будет положительной. Такие точки, например, расположены на оси 0x при y = 0.

Как видно, выполнены условия теоремы Ляпунова о неустойчивости. Следовательно, нулевое решение системы неустойчиво.

   Пример 6

Исследовать на устойчивость нулевое решение системы Исходя из вида правых частей уравнений, можно заметить, что производные dx/dt, dy/dt будут возрастать для точек в первом квадранте плоскости 0xy (при x > 0, y > 0). Поэтому можно предположить, что система является неустойчивой. Для доказательства воспользуемся теоремой Четаева.

Пусть функция V(X) имеет вид Эта функция является положительно определенной в подобласти U₁, в которой выполняется неравенство |x| > |y| (см. выше рис.4). Вычислим производную dV/dt в силу данной системы и определим ее знак в подобласти U₁. Видно, что производная dV/dt также является положительно определенной в подобласти U₁, определяемой соотношением |x| > |y|. Кроме того, функция V(X) равна нулю на границе области U₁, включая точку (0,0). Таким образом, выполняются все условия теоремы Четаева. Следовательно, нулевое решение системы неустойчиво.

Вычислив собственные значения якобиана линеаризованной системы, можно убедиться, что нулевое положение равновесия является седлом: