Логарифмическое дифференцирование

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием можно использовать для нахождения производных степенных, рациональных и некоторых иррациональных функций.

Рассмотрим этот подход более детально. Пусть дана функция y = f(x). Возьмем натуральные логарифмы от обеих частей: Теперь продифференцируем это выражение как сложную функцию, имея ввиду, что y - это функция от x. Отсюда видно, что искомая производная равна Такая производная от логарифма функции называется логарифмической производной.

Данный метод позволяет также эффективно вычислять производные показательно-степенных функций, то есть функций вида где u(x) и v(x) − дифференцируемые функции от x.

В приведенных ниже примерах вычислить производную функции y(x), используя логарифмическое дифференцирование.

   Пример 1

Сначала прологарифмируем левую и правую части уравнения: Теперь продифференцируем обе части, имея ввиду, что y − это функция от x:

   Пример 2

Применяем логарифмическое дифференцирование:

   Пример 3

Логарифмируем заданную функцию: Дифференцируя последнее равенство по x, получаем: Подставляем в правой части вместо y исходную функцию: где x > 0.

   Пример 4

Логарифмируя обе части, записываем следующее равенство: Далее дифференцируем левую и правую части:

   Пример 5

Прологарифмируем сначала обе части: Теперь легко найти логарифмическую производную: В этом примере предполагается, что x > 3.

   Пример 6

Возьмем логарифм от обеих частей: Теперь продифференцируем левую и правую части:

   Пример 7

Прологарифмируем данное равенство: Дифференцируя обе части по x, находим: или

   Пример 8

Следуя общей схеме, имеем: Вычисляем логарифмическую производную:

   Пример 9

Предварительно логарифмируя обе части, получаем: Теперь можно легко вычислить производную:

   Пример 10

Логарифмируем обе части: Следовательно,

   Пример 11

Дифференцируем обе части равенства:

   Пример 12

Дифференцируя как сложную функцию, находим: Производная показательно-степенной функции  x ^{x  вычислена в примере 1. Подставляя ее, получаем:}

   Пример 13

Отсюда находим:

   Пример 14

Будем рассматривать данную функцию при x > 2. Тогда логарифмируя левую и правую части равенства, имеем: Дифференцируя, находим производную y':

   Пример 15

Логарифмируем заданную функцию: Дифференцируя обе части по x, получаем: В примере 1 мы уже вычислили производную функции y = x ^{x. Подставляя ее в верхнее соотношение, получаем следующее выражение для производной исходной функции:}

   Пример 16

Следовательно,

   Пример 17

В данном примере предполагается, что переменная x удовлетворяет области определения, имеющей вид: Прологарифмируем обе части равенства и затем продифференцируем.

   Пример 18

Сначала возьмем логарифм от обеих частей: Дифференцируя левую и правую части соотношения, получаем Следовательно, производная равна

   Пример 19

^{Логарифмируем обе части равенства: Далее дифференцируя, получаем Область определения данной функции и ее производной описывается следующими неравенствами:}

   Пример 20

^{Дифференцируя обе части по x, находим производную: Здесь аргумент x удовлетворяет условию:}