Криволинейные интегралы второго рода

Предположим, что кривая C задана векторной функцией , где переменная s − длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (рисунок 1).

В приведенной выше формуле α, β и γ − углы между касательной и положительными направлениями осей Ox, Oy и Oz, соответственно. Введем векторную функцию , определенную на кривой C, так, чтобы для скалярной функции существовал криволинейный интеграл . Такой интеграл называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции вдоль кривой C и обозначается как Таким образом, по определению, где − единичный вектор касательной к кривой C.

Последнюю формулу можно переписать также в векторной форме: где .

Если кривая C лежит в плоскости Oxy, то полагая R = 0, получаем Криволинейный интеграл II рода обладает следующими свойствами:

   Пример 1

Вычислить интеграл , где кривая C задана параметрически в виде . Используя формулу находим ответ:

   Пример 2

Найти интеграл вдоль кривой C, заданной уравнением , от точки (0,0) до (2,8). Для вычисления данного криволинейного интеграла воспользуемся формулой Подставляя и в подынтегральное выражение, получаем

   Пример 3

Вычислить вдоль кривой от точки O (0,0) до A (1,1) (рисунок 3 ниже). Используем формулу Подставляя и в подынтегральное выражение, находим ответ:

   Пример 4

Вычислить вдоль кривой от точки O (0,0) до A (1,1) (рисунок 3). Если , то по формуле получаем

   Пример 5

Вычислить криволинейный интеграл вдоль кривой в интервале (рисунок 4). Поскольку , то дифференциал равен . В соответствии с формулой находим решение

   Пример 6

Вычислить криволинейный интеграл , где C − дуга окружности, лежащая в первом квадранте, обход которой осуществляется против часовой стрелки (рисунок 5). Очевидно, что дуга окружности описывается функцией , a − радиус окружности. (Мы взяли положительное значение корня, поскольку y > 0 в первом квадранте.) Тогда дифференциал равен Поскольку мы обходим кривую в направлении против часовой стрелки, то верхний и нижний пределы интегрирования равны, соответственно, a и 0. Следовательно,

   Пример 7

Вычислить криволинейный интеграл , где C − дуга эллипса (рисунок 6), заданного параметрически в виде . Запишем все выражения через параметр t: Далее, используя формулу можно записать

   Пример 8

Найти интеграл вдоль линии C, представляющей собой отрезок прямой от точки A (1,1,1) до точки B (2,3,4) (рисунок 7). Сначала составим уравнение прямой AB. Введем параметр t: и перепишем уравнение прямой в параметрической форме: Далее применяем формулу Очевидно, что параметр t изменяется в интервале [0,1]. Тогда криволинейный интеграл равен