Криволинейные интегралы первого рода

Пусть кривая C описывается векторной функцией , где переменная s представляет собой длину дуги кривой (рисунок 1).

Если на кривой C определена скалярная функция F, то интеграл называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной функции F вдоль кривой C и обозначается как Криволинейный интеграл существует, если функция F непрерывна на кривой C. Криволинейный интеграл I рода обладает следующими свойствами:

   Пример 1

Найти интеграл вдоль отрезка прямой y = x от начала координат до точки (2,2) (рисунок 3).

   Пример 2

Вычислить интеграл , где C − дуга окружности . Запишем дифференциал дуги кривой: Тогда, применяя формулу в плоскости Oxy, получаем

   Пример 3

Вычислить интеграл , где C − кривая, заданная уравнением . Используем формулу Здесь Следовательно,

   Пример 4

Вычислить интеграл , где C является отрезком прямой от точки O(0,0) до A(1,2) (рисунок 4 выше). Найдем сначала уравнение отрезка OA. Применяя формулу находим искомый криволинейный интеграл.

   Пример 5

Вычислить интеграл , где кривая C задана параметрически в виде . Применяя формулу можно записать

   Пример 6

Вычислить криволинейный интеграл , где кривая C − отрезок прямой от точки (0,−2) до (4,0) (рисунок 5). Найдем уравнение отрезка AB. По формуле находим данный интеграл

   Пример 7

Найти криволинейный интеграл , где кривая C является дугой эллипса , лежащей в первом квадранте (рисунок 6). Запишем уравнение эллипса в параметрической форме. Диапазон изменений t для первого квадранта равен . Следовательно, по формуле заданный интеграл преобразуется следующим образом Сделаем замену. Положим . Тогда Уточним пределы интегрирования. Если t = 0, то u = 0, а при получаем u = a. В результате интеграл становится равным Для вычисления полученного интеграла удобно сделать еще одну замену переменной. Если u = 0, то , и соответственно, если u = a, то . Таким образом,