Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций

Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку x = 2arctg t (или ).

Для преобразования рациональных выражений от sin x, cos x, tg x, ctg x, sec x и cosec x в алгебраические рациональные функции переменной t применяются следующие тригонометрические формулы: Чтобы вычислить интеграл вида , где R - рациональная функция, используется подстановка .

Аналогично, для вычисления интеграла вида , где R - рациональная функция, используется подстановка .

Если подынтегральное выражение является только функцией tg x, то подстановка t = tg x преобразует такой интеграл в интеграл от рациональной функции.

Для вычисления интеграла вида , где обе функции sin x и cos x входят в четной степени, применяется подстановка t = tg x и формулы

   Пример 1

Вычислить интеграл . Используем универсальную тригонометрическую подстановку Так как , получаем

   Пример 2

Вычислить интеграл . Сделаем подстановку Тогда интеграл равен

   Пример 3

Вычислить интеграл . Как и в предыдущих примерах, используем универсальную тригонометрическую подстановку Поскольку мы получаем

   Пример 4

Вычислить интеграл . Запишем интеграл в следующем виде: Сделаем подстановку В результате получаем:

   Пример 5

Вычислить интеграл . Поскольку , мы можем записать Следовательно, и интеграл преобразуется следующим образом: Сделаем подстановку . Далее используем соотношение Тогда

   Пример 6

Вычислить интеграл . Решим интеграл с помощью тригонометрической подстановки Учитывая, что находим интеграл:

   Пример 7

Найти интеграл . Сделаем следующую подстановку: В результате интеграл записывается в виде Разложим подынтегральное выражение на сумму дробей, используя метод неопределенных коэффициентов. Вычислим коэффициенты A, B, C. Следовательно, Интеграл равен