Интегрирование гиперболических функций

Шесть основных гиперболических функций определяются следующим образом: Наиболее важные формулы дифференцирования и интегрирования гиперболических функций имеют вид: Приведем еще несколько полезных соотношений: Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки .

   Пример 1

Вычислить интеграл . Сделаем подстановку u = 2 + 3sh x, du = 3ch xdx. Тогда . Следовательно, интеграл равен

   Пример 2

Вычислить интеграл . Поскольку , и, следовательно, , интеграл можно переписать в виде Делая замену u = ch x, du = sh xdx, получаем

   Пример 3

Вычислить . Используем интегрирование по частям: . Пусть . Тогда . В результате находим интеграл

   Пример 4

Вычислить интеграл . Так как , то интеграл равен

   Пример 5

Найти интеграл . По определению, . Подставляя это в интеграл, получаем

   Пример 6

Найти интеграл . По определению, и . Следовательно, Сделаем замену u = e ^x, du = e ^xdx и вычислим искомый интеграл.

   Пример 7

Вычислить интеграл . Подставив формулы и , получаем

   Пример 8

Вычислить интеграл . Интегрируем по частям. Полагаем Интеграл принимает вид Применим интегрирование по частям еще раз. Теперь полагаем Получаем Решая полученное уравнение относительно , находим ответ