Интегрирование по частям

Пусть u(x) и v(x) являются дифференцируемыми функциями. Дифференциал произведения функций u и v определяется формулой Проинтегрировав обе части этого выражения, получим или, переставляя члены, Это и есть формула интегрирования по частям.

   Пример 1

Вычислить интеграл . Используем формулу интегрирования по частям . Пусть . Тогда Следовательно,

   Пример 2

Проинтегрировать . В соответствии с формулой интегрирования по частям полагаем u = ln x, dv = dx.
Тогда . Получаем

   Пример 3

Вычислить интеграл . Пусть . Тогда , так что интеграл переписывается в виде Чтобы вычислить новый интеграл, сделаем замену . В этом случае .
В результате последний интеграл становится равным Отсюда находим искомый интеграл:

   Пример 4

Вычислить интеграл . Используем интегрирование по частям: . Полагаем . Тогда и интеграл записывается в виде Применим формулу интегрирования по частям еще раз. Пусть теперь . Следовательно, . Для первоначального интеграла получаем следующее уравнение: Решая это уравнение относительно неизвестного интеграла, находим

   Пример 5

Вывести формулу редукции (понижения степени) для . Используя формулу интегрирования по частям , полагаем . Тогда Следовательно, Решим полученное уравнение относительно . Получаем