|
|
|
Интегральный признак Коши
|
|
Пусть f (x) является непрерывной, положительной и монотонно убывающей функцией на промежутке [1, +∞). Тогда ряд
сходится, если сходится несобственный интеграл  , и расходится, если  .
|
Пример 1
|
|
Определить, сходится или расходится ряд  .
Решение.
Используем интегральный признак Коши. Вычислим соответствующий несобственный интеграл:
Таким образом, данный ряд расходится.
|
Пример 2
|
|
Показать, что обобщенный гармонический ряд  сходится при p > 1.
Решение.
Рассмотрим соответствующую функцию  и применим интегральный признак. Несобственный интеграл равен
Видно, что обобщенный гармонический ряд сходится при значении p > 1.
|
Пример 3
|
|
Определить, сходится или расходится ряд  .
Решение.
Вычислим соответствующий несобственный интеграл:
Таким образом, данный ряд расходится.
|
Пример 4
|
|
Исследовать ряд  на сходимость.
Решение.
Оценим несобственный интеграл
Сделаем замену :  . Тогда  . Находим значение интеграла:
Поскольку данный интеграл расходится, то ряд  также расходится.
|
Пример 5
|
|
Исследовать ряд  на сходимость.
Решение.
Заметим, что  . Тогда по признаку сравнения получаем
Используя интегральный признак, оценим сходимость ряда  :
Поскольку несобственный интеграл сходится, то исходный числовой ряд также сходится.
|
Пример 6
|
|
Определить, сходится или расходится ряд  .
Решение.
Применяя интегральный признак, вычислим соответствующий несобственный интеграл:
Интегрируем по частям:
Получаем
Предел в последнем выражении можно оценить по правилу Лопиталя:
Следовательно, несобственный интеграл конечен и равен 1. Поэтому, исходный ряд сходится.
|
|
|
|