Интегральный признак Коши

Пусть f (x) является непрерывной, положительной и монотонно убывающей функцией на промежутке [1, +∞). Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл , и расходится, если .

   Пример 1

Определить, сходится или расходится ряд . Используем интегральный признак Коши. Вычислим соответствующий несобственный интеграл: Таким образом, данный ряд расходится.

   Пример 2

Показать, что обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1. Рассмотрим соответствующую функцию и применим интегральный признак. Несобственный интеграл равен Видно, что обобщенный гармонический ряд сходится при значении p > 1.

   Пример 3

Определить, сходится или расходится ряд . Вычислим соответствующий несобственный интеграл: Таким образом, данный ряд расходится.

   Пример 4

Исследовать ряд на сходимость. Оценим несобственный интеграл Сделаем замену : . Тогда . Находим значение интеграла: Поскольку данный интеграл расходится, то ряд также расходится.

   Пример 5

Исследовать ряд на сходимость. Заметим, что . Тогда по признаку сравнения получаем Используя интегральный признак, оценим сходимость ряда : Поскольку несобственный интеграл сходится, то исходный числовой ряд также сходится.

   Пример 6

Определить, сходится или расходится ряд . Применяя интегральный признак, вычислим соответствующий несобственный интеграл: Интегрируем по частям: Получаем Предел в последнем выражении можно оценить по правилу Лопиталя: Следовательно, несобственный интеграл конечен и равен 1. Поэтому, исходный ряд сходится.