Бесконечно малые функции

Функция α (x) называется бесконечно малой при , если Предположим, что α (x) и β (x) - бесконечно малые функции при . В частности, следующие функции являются эквивалентными: При вычислении предела отношения двух бесконечно малых функций мы можем заменить эти функции их эквивалентными выражениями.

   Пример 1

Найти предел . Используем формулы: Тогда

   Пример 2

Найти предел . Поскольку , то предел можно переписать в следующем виде:

   Пример 3

Найти предел . Известно, что и при . Следовательно,

   Пример 4

Найти предел . Заменяя квадратный корень на эквивалентную бесконечно малую функцию, получаем

   Пример 5

Найти предел . Применим формулу при . В результате предел преобразуется следующим образом:

   Пример 6

Вычислить предел . Заменим переменную: x − π = y. Здесь y → 0, если x → π. Тогда предел равен Применяя формулу приведения , получаем Наконец, заменяя косинус эквивалентным бесконечно малым выражением , находим предел:

   Пример 7

Вычислить предел . Используя эквивалентное бесконечно малое выражение для логарифма: при , получаем

   Пример 8

Вычислить предел . Пусть . Тогда при . Предел становится равным Далее используем алгебраическое тождество и находим предел

   Пример 9

Вычислить предел . Используем следующие эквивалентные выражения для бесконечно малых функций: Тогда предел можно записать в виде Заменяя , получаем окончательный ответ

   Пример 10

Вычислить предел . Сделаем замену переменной: Тогда предел через новую переменную y записывается в виде Заменим функции косинус и синус их эквивалентными бесконечно малыми выражениями по формулам Предел становится равным Мы ограничимся учетом бесконечно малых первого порядка малости и пренебрежем бесконечно малыми второго порядка . В результате, получаем окончательный ответ