Бесконечные ряды

Пусть задана числовая последовательность {a_n}. Тогда бесконечная сумма называется бесконечным рядом или просто рядом. Частичные суммы ряда определяются формулой где S_n называется n-частичной суммой ряда. Если частичные суммы {S_n} сходятся к L при n → ∞, то говорят, что бесконечный ряд сходится к L: В противном случае ряд расходится. Если ряд сходится, то .
Внимание! Обратное утверждение неверно. Сходимость общего члена a_n к нулю не означает, что ряд
сходится. Например, гармонический ряд расходится, хотя .

Соответственно, если или этот предел не существует, то ряд расходится (достаточное условие расходимости ряда). Предположим, что и являются сходящимися рядами, а c − действительным числом. Тогда справедливы следующие линейные свойства:

   Пример 1

Определить, сходится или расходится ряд . Поскольку , то выполнен достаточный признак расходимости ряда. Таким образом, ряд расходится.

   Пример 2

Исследовать сходимость ряда . Вычислим предел . Заменяя числовую последовательность на неперрывную функцию и применяя правило Лопиталя, получаем Следовательно исходный числовой ряд расходится (выполнено достаточное условие расходимости).

   Пример 3

Показать, что гармонический ряд расходится. Запишем данный ряд в следующем виде: Поэтому . Следовательно, гармонический ряд является расходящимся.
Этот факт впервые доказал средневековый французский экономист и математик Николь Орезм, живший более 600 лет назад.

   Пример 4

Исследователь сходимость ряда . Данный ряд сходится, поскольку он является суммой двух сходящихся рядов − . Оба этих ряда представляют собой бесконечные геометрические прогрессии со знаменателем |q| < 1. Тогда Следовательно, сумма исходного ряда равна

   Пример 5

Исследовать сходимость ряда . Видно, что Тогда n-частичная сумма будет равна Вычислим предел S_n при n → ∞: Следовательно, ряд сходится.

   Пример 6

Определить, сходится или расходится ряд Запишем выражение для n-частичной суммы: Легко видеть, что Тогда Отсюда находим, что Таким образом, заданный ряд сходится к 1.

   Пример 7

Исследовать сходимость ряда . Запишем общий член ряда в виде Вычислим n-частичную сумму: Поскольку , то данный ряд расходится.