Бесконечные последовательности

Функция f (n), определенная на множестве натуральных чисел, образует последовательность действительных чисел. Значения a_n = f (n), которые принимает эта функция, называются членами последовательности.

Множество значений a_n = f (n) обозначается как {a_n}.

Числовая последовательность {a_n} имеет предел L, если для каждого ε > 0 существует натуральное число N > 0, такое, что при всех n ≥ N выполняется неравенство . В этом случае мы записываем Числовая последовательность {a_n} имеет предел ∞, если для любого положительного числа M существует натуральное число N > 0, такое, что для всех n ≥ N справедливо неравенство a_n > M. В этом случае используется обозначение Если предел существует и L конечно, то говорят, что числовая последовательность сходится.
В противном случае последовательность расходится.

Теорема "о двух милиционерах": Предположим, что и {c_n} является последовательностью, такой что для всех n > N, где N − натуральное число. Тогда Последовательность {a_n} является ограниченной, если существует такое число M > 0, что |a_n| ≤ M для любого значения n.

Если числовая последовательность сходится, то она ограничена. Любая неограниченная последовательность расходится.

Последовательность {a_n} называется монотонно возрастающей, если a_n ≤ a_n+1 для всех n ≥ 1. Аналогично, последовательность {a_n} называется монотонно убывающей, если a_n ≥ a_n+1 для всех n ≥ 1. Последовательность {a_n} называется монотонной, если она монотонно возрастает или монотонно убывает.

   Пример 1

Записать общую формулу для n-го члена a_n числовой последовательности и определить ее предел (если он существует). В данном примере . Тогда предел равен Таким образом, последовательность сходится к 1.

   Пример 2

Записать формулу n-го члена a_n числовой последовательности и определить ее предел (если он существует). Нетрудно увидеть, что n-ый член последовательности описывается формулой . Поскольку , то можно записать Применяя правило Лопиталя, находим предел: Следовательно, по теореме "о двух милиционерах" предел исходной последовательности равен

   Пример 3

Определить, сходится или расходится последовательность ? При вычислении предела разделим числитель и знаменатель на n в максимальной степени, равной 1: Следовательно, последовательность сходится к .

   Пример 4

Определить, сходится или расходится последовательность ? По правилу Лопиталя находим Поскольку предел конечен, то данная последовательность сходится.

   Пример 5

Определить, является ли последовательность сходящейся или расходящейся? Умножим данное выражение на дробь . В результате получаем Это значит, что последовательность сходится.

   Пример 6

Определить, является ли последовательность монотонно возрастающей, убывающей или немонотонной? n + 1-ый член последовательности выражается формулой Проверим неравенство a_n ≤ a_n+1: Последнее неравенство очевидно, поскольку числитель отрицателен, а при n ≥ 1. Поэтому, данная последовательность является монотонно возрастающей.

   Пример 7

Исследовать числовую последовательность на монотонность. Запишем первые несколько членов последовательности: Видно, что это убывающая последовательность. Чтобы подтвердить это, докажем, что справедливо неравенство a_n ≥ a_n+1. Имеем Тогда условие a_n ≥ a_n+1 подразумевает Умножим обе части неравенства на : Поскольку последнее неравенство верно, то последовательность монотонно убывает.